Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наибольшая. Окружность $\omega_1$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Окружность $\omega_2$ с центром в точке $C$ и радиусом $CB$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ вторично пересекаются в точке $D$. Прямая, параллельная $EF$ и проходящая через $B$, вторично пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $G$ и $T$ соответственно. Докажите, что $GT=DF+DE$. ( С. Полянских )
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных действительных корня уравнения $a x^3 + b x^2 + c x + d =0.$ Докажите, что $x_1 x_2 \ge \frac{4ac - b^2}{4a^2}.$
комментарий/решение(8)

---

Задача №3.  Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6)

---

Задача №4.  На прямой отмечены $n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
   a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
   b) $ab$ не делится на $p$;
   c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6)

---