Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 10 сынып


x3+1 саны y2-қа, ал y3+1 саны x2-қа бөлінетіндей барлық (x,y) натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года назад #

См. решение к 3 задаче 9 класса.

пред. Правка 2   0
2 года 4 месяца назад #

Допустим x=y, то x3+1 делится на x2, и так как x3 делится на x2 то и 1 делится на x2, значит x=y=1.

Теперь допустим что x3+1=y2 (или наоборот, симметрично). Значит y(x3+1)=y3, а еще по второму выходит что y31(x2), и так как (x3+1)1(x2) то y(x3+1)y1(x2).

y+1 делится на x2yx21y2(x42x2+1)(x3+2x2)x4(x+2)x2. а при x3 по индукции это невозможно. Значит получаем ответы x=2;y=3 (или наоборот).

Значит получаем что x>y и y3+1=x2t где t>1 и x>2. По первому получается x31(y2) и x3tt(y2). Так как x3t=x(y3+1)x3txt(y2) и x+t делится на y2, значит x+ty2. Легко доказываем что xy>x+y значит xyx+y+1(y>t)y2+1x2ty>xy, противоречие.

  3
1 года 4 месяца назад #

x3+1y2, y3+1x2, karoche x2y2x3y3+x3+y3+1x2y2x3+y3+1 WLOG x>y,xy+1,x3(y+1)3y3+1,2x3>x3+y3+1x2y2 potom 2x3>y2 i takzhe, y3+1>x3,y3x2,yx23,y2x43 znachit 2x3x2y2,2x>yx43,2>x13,8>x a potom chisto razbiraem sluchaii i vse

  0
1 года 4 месяца назад #

Почему вы взяли что x>y и y³+1>x²

  3
1 года 4 месяца назад #

Потому что x и y симметричны и без потери общенства можно взять что либо x > y либо обратное, а y³+1 > x^2 следует с того что y^3+1 : x^2 cmon eto ochevidno

  0
1 года 4 месяца назад #

Тогда прошу расписывать понятно и грамотно