Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 10 сынып
x3+1 саны y2-қа, ал y3+1 саны x2-қа бөлінетіндей барлық (x,y) натурал сандар жұптарын табыңыз.
(
Абдыкулов А.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Допустим x=y, то x3+1 делится на x2, и так как x3 делится на x2 то и 1 делится на x2, значит x=y=1.
Теперь допустим что x3+1=y2 (или наоборот, симметрично). Значит y(x3+1)=y3, а еще по второму выходит что y3≡−1(x2), и так как (x3+1)≡1(x2) то y(x3+1)≡y≡−1(x2).
y+1 делится на x2→y≥x2−1→y2≥(x4−2x2+1)→(x3+2x2)≥x4→(x+2)≥x2. а при x≥3 по индукции это невозможно. Значит получаем ответы x=2;y=3 (или наоборот).
Значит получаем что x>y и y3+1=x2t где t>1 и x>2. По первому получается x3≡−1(y2) и x3t≡−t(y2). Так как x3t=x(y3+1)→x3t≡x≡−t(y2) и x+t делится на y2, значит x+t≥y2. Легко доказываем что xy>x+y значит xy≥x+y+1(y>t)≥y2+1→x2ty>xy, противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.