Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных действительных корня уравнения $a x^3 + b x^2 + c x + d =0.$ Докажите, что $x_1 x_2 \ge \frac{4ac - b^2}{4a^2}.$

Комментарий/решение

лень было переписывать, так что вот:

почему то не открывается

Поскольку $x_1$ и $x_2$ - корни данного уравнения, имеет место следующая система:

$\left\{ \begin{gathered}ax_1^3 + bx_1^2+cx1 + d = 0,\\ax_2^3 + bx_2^2+cx2 + d = 0. \\\end{gathered} \right.$

Откуда, отняв верхнее выражение от нижнего и учитывая, что $x1 \neq x2$, получаем:

$a(x_1+x_2)^2 + b(x_1+x_2) + c - ax_1x_2 = 0$

Новое уравнение имеет как минимум 1 корень по условию существования $x1$ и $x2$. (а именно, $x_1+x_2$)

Соответственно, его дискриминант - $D = b^2 - 4a(c-ax_1x_2) \geq 0$, что и требовалось доказать.

Красивое решение! Долго думал?

Я живу у тебя в стенах

челы легенды, парные авы в матоле

хахах, 300iq ребята

Стоит заметить что если у кубического многочлена есть 2 действительных корня, то третий тоже будет действительным. По теореме виета: $$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$$ и так же $$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}$$ .

Тогда возведём второе условие в квадрат, $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=\frac{b^2}{a^2}$$ Теперь сделаем сравнение $$x_1x_2 \ | \ \frac{4ac-b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=$$

Справа отнимем $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$ а слева $\frac{c}{a}$ (это одно и тоже), и уже получим $$-(x_1x_3+x_2x_3) \ | \ \frac{-b^2}{4a^2}$$ заменим справа значение на $$\frac{-(x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3))}{4}$$ умножим слева и справа на $4$, перекинем некоторые вещи и уже получим $x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3 \ | \ 0$, или же $$(x_1+x_2-x_3)^2 \ | \ 0$$

что очевидно.