Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

На прямой отмечены $n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )

Комментарий/решение

Заметим что бы сперва получить количество способов выбрать точки нам нужна сумма: $\sum C_{n}^{k}$,$(k=1,2, \dots n)$. И по сути оставив точки, самая левая будет всегда красной, а все остальные будут иметь по два способа покраски, что приводит нас к тому что наша формула будет выглядеть так: $\sum C_{n}^{k}*2^{k-1}$,$(k=1,2, \dots n)$. Формула монотонна, значит подобрав ответ $n=8$, он будет единственным.

Заметим если Арман выбрал 1 точку кол-во способов для покраски $C\binom{1}{n}$, если он выбрал две точки тогда чтобы выбрать две точки потребуется $C\binom{2}{n}$ способов и чтобы покрасить одну точки один из цветов $C\binom{2}{n}*2$ и так переберая случай сумма всех случай:

$C\binom{1}{n}+ C\binom{2}{n}*2+ C\binom{3}{n}*2^2+….+C\binom{2}{n}*2^{n-1}=3280$

Умножим на 2:

$C\binom{1}{n}*2+ C\binom{2}{n}*2^2+ C\binom{3}{n}*2^3+….+C\binom{2}{n}*2^{n}=6560$

Сделаем +1 с каждой строны:

$1+C\binom{1}{n}*2+ C\binom{2}{n}*2^2+ C\binom{3}{n}*2^3+….+C\binom{2}{n}*2^{n}=6561$

По биному Ньютона:

$(3)^n=6551$ отсюда n=8