қазақша
русскийЖук В.
Задача №1. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Докажите, неравенство $$\left(\frac{r_a}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_b}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) <\frac{8R\sqrt{2}}{p}.$$ Здесь $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$, а $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. На прямой отмечены $n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №3. На горизонтальной прямой отмечены $n$ чёрных точек. Между двумя соседними чёрными точками Арман проводит вертикальную прямую так, чтобы слева и справа от этой прямой оставалось не менее двух чёрных точек. Затем Арман все чёрные точки, расположенные слева от вертикальной прямой, красит в синий цвет, после этого одну или две чёрные точки справа от этой прямой красит в красный цвет, оставшиеся (если таковые есть) — в зелёный цвет. Арман подсчитал, что, действуя таким образом, он может получить 55 различных раскрасок этих точек. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. На прямой отмечены $n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада