Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Жук В.


Задача №1.  Пусть дан треугольник ABC со сторонами a=BC, b=AC и c=AB. Докажите, неравенство (rap+1)(rbp+1)(rcp+1)<8R2p. Здесь p=a+b+c2 — полупериметр, R — радиус описанной окружности треугольника ABC, а ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон BC, AC, AB соответственно. ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На прямой отмечены n чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №3.  На горизонтальной прямой отмечены n чёрных точек. Между двумя соседними чёрными точками Арман проводит вертикальную прямую так, чтобы слева и справа от этой прямой оставалось не менее двух чёрных точек. Затем Арман все чёрные точки, расположенные слева от вертикальной прямой, красит в синий цвет, после этого одну или две чёрные точки справа от этой прямой красит в красный цвет, оставшиеся (если таковые есть) — в зелёный цвет. Арман подсчитал, что, действуя таким образом, он может получить 55 различных раскрасок этих точек. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  На прямой отмечены n чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада