қазақша
русскийЖук В.
Есеп №1. $a = BC$, $b = AC$ және $c = AB$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \left(\frac{r_a}{p} + 1 \right) \left(\frac{r_b}{p} + 1 \right) \left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) < \frac{8R\sqrt{2}}{p}.$$ Бұл жерде $p = \frac{a + b + c}{2}$ — жарты периметр, $R$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы, ал $r_a$, $r_b$, $r_c$ — сәйкесінше $BC$, $AC$ және $AB$ қабырғаларын жанайтын үшбұрыштың іштейсырт сызылған шеңберлердің радиустары. ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Арман белгіленген нүктелердің бірнешеуін таңдап (кем дегенде біреу немесе барлығы болуыда мүмкін), ал қалғандарын өшіріп тастайды. Ол қалған нүктелердің ішіндегі ең сол жағындағы нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған өшпеген нүктелерді (егер олар болса) ол не көк не жасыл түске бояйды. Арман осылай әр түрлі $3280$ тәсілмен істеп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №3. Горизонталь түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Екі көршілес қара түсті нүктелердің арасынан Арман вертикаль түзу жүргізеді және осы түзудің сол және оң жағында кем дегенде екі қара түсті нүктелер болуы керек. Сосын Арман вертикаль түзудің сол жағындағы барлық қара түсті нүктелерді көк түске бояйды, осыдан кейін осы түзудің оң жағындағы бір немесе екі қара түсті нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған қара түсті нүктелерді (егер олар болса) — жасыл түске бояйды. Арман, осылай әрекет жасап, осы нүктелерді әр түрлі 55 тәсілмен бояп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Арман белгіленген нүктелердің бірнешеуін таңдап (кем дегенде біреу немесе барлығы болуыда мүмкін), ал қалғандарын өшіріп тастайды. Ол қалған нүктелердің ішіндегі ең сол жағындағы нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған өшпеген нүктелерді (егер олар болса) ол не көк не жасыл түске бояйды. Арман осылай әр түрлі $3280$ тәсілмен істеп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )
комментарий/решение(1) олимпиада