Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

На горизонтальной прямой отмечены $n$ чёрных точек. Между двумя соседними чёрными точками Арман проводит вертикальную прямую так, чтобы слева и справа от этой прямой оставалось не менее двух чёрных точек. Затем Арман все чёрные точки, расположенные слева от вертикальной прямой, красит в синий цвет, после этого одну или две чёрные точки справа от этой прямой красит в красный цвет, оставшиеся (если таковые есть) — в зелёный цвет. Арман подсчитал, что, действуя таким образом, он может получить 55 различных раскрасок этих точек. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )

Комментарий/решение

Замечание. Если Арман действует "таким образом" после момента проведения прямой, то общее число точек невозможно определить, так как любое их количество могло оказаться слева, что не повлияет на число раскрасок.

Следовательно, "таким образом" начинается с момента проведения вертикальной прямой. Пусть справа от прямой осталось $2 \leq x \leq n - 2$ точек. Выбрать одну из них можно $x$ способами. Выбрать две из них можно $C_x^2$ способами. В сумме получается $x + \frac{x(x-1)}{2}=\frac{x(x+1)}{2}$ различных раскрасок.

Для различных значений $x$ получаются различные раскраски, так как синих точек будет разное число. Чтобы получить все раскраски нужно просуммировать $\sum_{x=2}^{n - 2} \frac{x(x+1)}{2}$. То есть, $\frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{3\cdot 4}{2} + \ldots + \frac{(n-2)(n-1)}{2} = 55$.

Так как $3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 55$, то $n - 2 = 6$, $n = 8$.