Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 9 сынып

Горизонталь түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Екі көршілес қара түсті нүктелердің арасынан Арман вертикаль түзу жүргізеді және осы түзудің сол және оң жағында кем дегенде екі қара түсті нүктелер болуы керек. Сосын Арман вертикаль түзудің сол жағындағы барлық қара түсті нүктелерді көк түске бояйды, осыдан кейін осы түзудің оң жағындағы бір немесе екі қара түсті нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған қара түсті нүктелерді (егер олар болса) — жасыл түске бояйды. Арман, осылай әрекет жасап, осы нүктелерді әр түрлі 55 тәсілмен бояп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )

Комментарий/решение

Замечание. Если Арман действует "таким образом" после момента проведения прямой, то общее число точек невозможно определить, так как любое их количество могло оказаться слева, что не повлияет на число раскрасок.

Следовательно, "таким образом" начинается с момента проведения вертикальной прямой. Пусть справа от прямой осталось $2 \leq x \leq n - 2$ точек. Выбрать одну из них можно $x$ способами. Выбрать две из них можно $C_x^2$ способами. В сумме получается $x + \frac{x(x-1)}{2}=\frac{x(x+1)}{2}$ различных раскрасок.

Для различных значений $x$ получаются различные раскраски, так как синих точек будет разное число. Чтобы получить все раскраски нужно просуммировать $\sum_{x=2}^{n - 2} \frac{x(x+1)}{2}$. То есть, $\frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{3\cdot 4}{2} + \ldots + \frac{(n-2)(n-1)}{2} = 55$.

Так как $3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 55$, то $n - 2 = 6$, $n = 8$.