Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс


Пусть дан треугольник ABC со сторонами a=BC, b=AC и c=AB. Докажите, неравенство (rap+1)(rbp+1)(rcp+1)<8R2p. Здесь p=a+b+c2 — полупериметр, R — радиус описанной окружности треугольника ABC, а ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон BC, AC, AB соответственно. ( Жук В. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 11 месяца назад #

Используя ra=Spa аналогично для остальных и S=pr так же формулу Герона , преобразовывая

(r+pa)(r+pb)(r+pc)<8rR22     (1)

Если d,t,k - отрезки касательные, тогда d=rctg(A2), t=rctg(B2), k=rctg(C2)

Лемма: в треугольнике ABC выполняется ctg(A2)+ctg(B2)+ctg(C2)=ctg(A2)ctg(B2)ctg(C2)

Если x=ctg(A2), y=ctg(B2), z=ctg(C2) где x,y,z>0

Учитывая R=abc4S , подставив в (1) получается нужно доказать :

(1+x)(1+y)(1+z)<22(x+y)(y+z)(x+z)x+y+z

учитывая x+y+z=xyz или

(x+1)(y+1)(xy+x+y1)(x2+1)(y2+1)<22

преобразуем

x2y+xy2+xy1x2y2+x2+y2+1<212

если x+y=a,xy=b и a24b и a,b>0

тогда неравенство имеет вид

ab+b1a2+(b1)2<212

Покажем что ab+b1a2+(b1)2<910

N=1825(a5b9)2+112225(b94)21

учитывая что a2b

Nf(b)=1825(2b5b9)2+112225(b94)2

минимум которой b=169 тогда fmin(b)=289135>1

то есть ab+b1a2+(b1)2<910<212