Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Используя ra=Sp−a аналогично для остальных и S=pr так же формулу Герона , преобразовывая
(r+p−a)(r+p−b)(r+p−c)<8rR2√2 (1)
Если d,t,k - отрезки касательные, тогда d=r⋅ctg(A2), t=r⋅ctg(B2), k=r⋅ctg(C2)
Лемма: в треугольнике ABC выполняется ctg(A2)+ctg(B2)+ctg(C2)=ctg(A2)⋅ctg(B2)⋅ctg(C2)
Если x=ctg(A2), y=ctg(B2), z=ctg(C2) где x,y,z>0
Учитывая R=abc4S , подставив в (1) получается нужно доказать :
(1+x)(1+y)(1+z)<2√2(x+y)(y+z)(x+z)x+y+z
учитывая x+y+z=xyz или
(x+1)(y+1)(xy+x+y−1)(x2+1)(y2+1)<2√2
преобразуем
x2y+xy2+xy−1x2y2+x2+y2+1<√2−12
если x+y=a,xy=b и a2≥4b и a,b>0
тогда неравенство имеет вид
ab+b−1a2+(b−1)2<√2−12
Покажем что ab+b−1a2+(b−1)2<910
N=1825(a−5b9)2+112225(b−94)2≥1
учитывая что a≥2√b
N≥f(b)=1825(2√b−5b9)2+112225(b−94)2
минимум которой b=169 тогда fmin(b)=289135>1
то есть ab+b−1a2+(b−1)2<910<√2−12
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.