Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 10 сынып

Түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Арман белгіленген нүктелердің бірнешеуін таңдап (кем дегенде біреу немесе барлығы болуыда мүмкін), ал қалғандарын өшіріп тастайды. Ол қалған нүктелердің ішіндегі ең сол жағындағы нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған өшпеген нүктелерді (егер олар болса) ол не көк не жасыл түске бояйды. Арман осылай әр түрлі $3280$ тәсілмен істеп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )

Комментарий/решение

Заметим что бы сперва получить количество способов выбрать точки нам нужна сумма: $\sum C_{n}^{k}$,$(k=1,2, \dots n)$. И по сути оставив точки, самая левая будет всегда красной, а все остальные будут иметь по два способа покраски, что приводит нас к тому что наша формула будет выглядеть так: $\sum C_{n}^{k}*2^{k-1}$,$(k=1,2, \dots n)$. Формула монотонна, значит подобрав ответ $n=8$, он будет единственным.

Заметим если Арман выбрал 1 точку кол-во способов для покраски $C\binom{1}{n}$, если он выбрал две точки тогда чтобы выбрать две точки потребуется $C\binom{2}{n}$ способов и чтобы покрасить одну точки один из цветов $C\binom{2}{n}*2$ и так переберая случай сумма всех случай:

$C\binom{1}{n}+ C\binom{2}{n}*2+ C\binom{3}{n}*2^2+….+C\binom{2}{n}*2^{n-1}=3280$

Умножим на 2:

$C\binom{1}{n}*2+ C\binom{2}{n}*2^2+ C\binom{3}{n}*2^3+….+C\binom{2}{n}*2^{n}=6560$

Сделаем +1 с каждой строны:

$1+C\binom{1}{n}*2+ C\binom{2}{n}*2^2+ C\binom{3}{n}*2^3+….+C\binom{2}{n}*2^{n}=6561$

По биному Ньютона:

$(3)^n=6551$ отсюда n=8