Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында

$AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі

$A$ радиусы

$AB$ болатын

$\omega_1$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$F$ нүктесінде қияды. Центрі

$C$ радиусы

$CB$ болатын

$\omega_2$ шеңбері

$AB$ қабырғасын

$E$ нүктесінде қияды.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері екінші рет

$D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін

$EF$ түзуіне параллель түзу

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше

$G$ және

$T$ нүктелерінде қияды.

$GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз. ( С. Полянских )
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$x_1$ және

$x_2$ сандары

$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ теңдеуінің әр-түрлі нақты түбірлері болсын.

$x_1 x_2 \ge \frac{4ac - b^2}{4a^2}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(8)

Есеп №3.

$x^3 + 1$ саны

$y^2$ -қа, ал

$y^3 +1$ саны

$x^2$ -қа бөлінетіндей барлық

$(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Түзудің бойынан

$n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Арман белгіленген нүктелердің бірнешеуін таңдап (кем дегенде біреу немесе барлығы болуыда мүмкін), ал қалғандарын өшіріп тастайды. Ол қалған нүктелердің ішіндегі ең сол жағындағы нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған өшпеген нүктелерді (егер олар болса) ол не көк не жасыл түске бояйды. Арман осылай әр түрлі

$3280$ тәсілмен істеп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$AB = AC$ және

$\angle BAC > 90^\circ$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$M$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте.

$BC$ түзуінің бойынан

$C$ нүктесінен әрі созындысынан

$D$ нүктесі алынған.

$DM$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері

$BC$ қабырғасын

$P$ және

$Q$ нүктесінде қияды.

$DA$ түзуі

$POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын табыңыз:
a)

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші

$1$ -ге тең;
b)

$ab$ саны

$p$ -ға бөлінбейді;
c)

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6)