Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
   a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
   b) $ab$ не делится на $p$;
   c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

у вас в первой строке $4abc$ а не $4$

Спасибо не заметил

$a=dx,b=dy,(x,y)=1$

Үшінші берілген теңдікті $abcp$-ға көбейтейікте, $d$-ға бөліп жіберейік: $$dycp+dxcp+d^2xy=4d^2xyc$$ $$\rightarrow ycp+xcp+dxy=4dxyc\rightarrow dxy(4c-1)=cp(x+y)$$

Ал енді қарасақ, $xy$ $p$ мен $x+y$ бөлінбейді, сонда $c$ $\vdots$ $xy$, ал $c,$ ($4c-1$)-ге бөлінбейді ($c=1$ болса, $3dxy=p(x+y)$ ге келеміз, сонда $3$ $\vdots$ $p$, ондай мүмкін емес) және $(c,d)=1$, солай $xy$ $\vdots$ $c.$ Сонымен $xy=c$ екенін түсіндік, онда соны қолдансақ: $$d(4xy-1)=p(x+y)$$

$4xy-1$ $\vdots$ $p$ екені анық, $4xy-1 \equiv 3(mod$ $4)$, сол үшін $\exists q\equiv 3(mod$ $4),4xy-1$ $\vdots$ $q.$. Және де $x+y$ $\vdots$ $q$, онда $x \equiv -y(mod$ $q)$ және $(2y)^2+1$ $\vdots$ $q$ (ал бұл Жерар теоремасы бойынша мүмкін емес).

Жауабы: Ондай сандар жоқ.

решаю без теормеы Жерара я понял что если $(a,b,c)=1$ то это не означает $(a,b)=1,(b,c)=1,(c,a)=1$ пример $(6,10,15)=1$

заметим что если $ab$ не делится на $p$ то $a$,$b$ не делитя на $p$ тогда это выражение можно переписать в виде $bcp+acp=ab(4c-1)$ тогда $4c-1=p,4c-1=cp,4c-1=cp(a+b)$ три случая разберем третий тогда $a,b=1$ подставляя $1+1+\dfrac {1}{cp}>$$\dfrac{4}{4k+1}$ где $k\geq 1$ этоо вариант неправилен тогда разберем $2$ вариант заметим что $4c-1=cp$ где $p=4k+1$ тогда $4c-1=cp$ правое делится на $c$ левое нет если $c>1$ пусть тогда $c=1$ тогда $p=3$ а по условии $p \equiv 1 \pmod {4}$ разбираем первый вариант тогда $bc+ca=ab$ где $4c-1=4k+1$$\Rightarrow$$4c=4k+2$противоречие по мод $4$ противоречие

А что если 4c-1=p*k, где k|a+b