Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$. ( Шакиев А. )

Комментарий/решение

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BDA=\angle BDF$ и по вписанным углам, $\triangle APE, \triangle AQF$ - подобные равнобедренные. Пусть $\angle BDA=\varphi$, $l$ - прямая проходящая через $A$, параллельная $BC$, $O'$ - такая точка на описанной около $\triangle ABC$ окружности, что ориентированные углы $\angle OAO'$ и $\angle PAE$ равны. Тогда композиция поворота на угол $\varphi$ относительно $A$ (на данном рисунке по часовой стрелке) и гомотетий с коэффициентом $2\cos\varphi$ относительно $A$ переведут $\triangle POQ$ в $\triangle EO'F$, $(AD)$ в $l$, а описанная окружность $\triangle EO'F$ касается $l$ в точке $A$, значит и описанная окружность исходного треугольника $POQ$ касается прямой $AD$ в точке $A$.

ураа картинка

Из задачи 9 класса: $AQOP-$ вписанный. Достаточно доказать, что $DA-$ касается $(APQ)$. Не трудно убедиться из решения 9 класса $\angle APQ = \angle QEF = \angle QAD$. Что и требовалось доказать.