Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:
Для каждой точки добавим целые координаты.
Будем использовать уравнение $(*)$ для двух точек $(x,y)$ и $(a,b)$:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
где $r$- целое растояние.
Теперь 2019 точек разобьем на несколько множеств так что для любых двух точек $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ выполняются оба $3 \mid x_1-x_2$ и $3 \mid y_1-y_2$ тогда и только когда обе точки из одного множества.
Выберем произвольную точку $(x,y)$ из множества $A$. Определим количество множеств отличных от $A$ такие что выбрав точку $(a,b)$, ровно одно из $3\mid x-a$ и $3\mid y-b$ выполняется. Таких множеств не больше 4: не больше двух если выполняется первое, и не больше двух если второе. Теперь докажем что не существует $(a,b)$ что $(x-a)(y-b)$ не делится на 3. От противного, расмотрим такую точку. Используем $(*)$. Левая часть уравнения $(*)$ при делении на 3 дает остаток 2, а правая дает остаток 0 или 1. Противоречие.
Количество множеств не больше 5. Назначим $n_1, n_2, ..., n_5$ - количество точек в каждом множестве. Тогда количество расстоянии внутри множества с $n$ точками равно:
$$\frac{n^2-n}{2}$$
Убеждаемся что расстояния внутри одного множества делятся на 3 с $(*)$.
Общее количество расстоянии выполняющих условие задачи равно:
$$\frac{n_1^2+n_2^2+...+n_5^2-n_1-n_2-...-n_5}{2}$$
Используем $n_1+...+n_5=2019$ и:
$$n_1^2+...+n_5^2 \geq \frac{(n_1+...+n_5)^2}{5}=\frac{2019^2}{5}$$
$$\frac{n_1^2+n_2^2+...+n_5^2-n_1-n_2-...-n_5}{2} \geq \frac{2019^2-5\cdot 2019}{10}>400000$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.