Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Задача №1. Сумма обратных величин положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равна

$1$ . Докажите неравенство

$\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(9)

Задача №2. Дана бесконечная клетчатая бумага с размером клеток

$1$ см. В узлах клеток отмечено

$2019$ точек так, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками равно натуральному числу сантиметров. Докажите, что больше

$333333$ из этих расстояний являются натуральными числами, которые делятся на

$3$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Множество

$\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из

$\Phi$ по крайней мере

$\sqrt{2}$ . Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной

$3$ можно накрыть все точки множества

$\Phi$ . Из какого наибольшего количества точек может состоять

$\Phi$ ? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Найдите все функции

$f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ такие, что для любых

$x, y\in\mathbb{Q}$ выполнено равенство

$f(x+y)-f(y)=f(f(x-y)+f(y)).$ ( Ильясов С. )
комментарий/решение(5)

Задача №5. В окружности

$\omega$ диаметр

$AB$ и хорда

$CD$ перпендикулярны. Пусть

$M$ любая точка отрезка

$AC$ . Точка

$P$ -- основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Пусть окружность

$\omega_1$ , описанная около треугольника

$MPD$ , пересекает описанную окружность треугольника

$CPB$ во второй раз в точке

$Q$ (точки

$P$ и

$Q$ лежат по разные стороны от прямой

$AB$ ). Прямая

$CD$ вторично пересекает

$\omega_1$ в точке

$N$ . Докажите, что

$\angle CQN = \angle BPN$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Существуют ли простые числа

$p$ ,

$q$ и

$r$ такие, что число

$\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

результаты