Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ: Не существует.
Если p=q, то q∣r⟹p=q=r, следовательно 2⋅p3∣3⋅pp⟹p=2, что очевидно не подходит.
Далее б.о.о. p>q>r. Легко понять, что одно из чисел p,q,r− четное, иначе 2∤ Значит r=2. Тогда \dfrac{p^p+q^q+4}{4pq}\implies 4\mid p^p+q^q,\quad p\mid q^q+4,\quad q\mid p^p+4.
\implies
p+q\equiv p^p+q^q\equiv 0\pmod 4 \quad (i)
-q\cdot \bigg( q^{\frac{q-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod p\implies -q\equiv x^2\pmod p \implies \binom{-q}{p}=1 \quad (ii)
-p\cdot \bigg( p^{\frac{p-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod q \implies -p\equiv x^2\pmod q \implies \binom{-p}{q}=1 \quad (iii)
Следовательно из свойств Символа Лежандра и Квадратичного Закона Взаимности получаем, что
1=\binom{-q}{p}\cdot \binom{-p}{q}=\Bigg( \binom{-1}{p}\cdot\binom{q}{p} \Bigg) \times \Bigg( \binom{-1}{q}\cdot\binom{p}{q}\Bigg)=\Bigg( \binom{q}{p}\cdot\binom{p}{q} \Bigg) \cdot\binom{-1}{p}\cdot \binom{-1}{q}=
\Large{ =(-1)^{ \frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{p-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{q-1}{2} } =(-1)^{(a+1)(b+1)-1}, }
где \dfrac{p-1}{2}=a,\dfrac{q-1}{2}=b.
Тогда 2\mid (a+1)(b+1)-1\implies 2\mid a,b\implies 2\mid a+b=\dfrac{p+q-2}{2}\implies p+q\equiv 2\pmod 4, но из (i)\implies 2\equiv 0\pmod 4, что конечно невозможно.
\\
Примечания: Сравнения -q \equiv x^2\pmod p и -p\equiv x^2\pmod q означают, что каждое из этих сравнений (по отдельности) имеют решение.
Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.