Processing math: 37%

Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс


Существуют ли простые числа p, q и r такие, что число pp+qq+rr2pqr целое? ( Ануарбеков Т. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   8
4 года 3 месяца назад #

Ответ: Не существует.

Если p=q, то qrp=q=r, следовательно 2p33ppp=2, что очевидно не подходит.

Далее б.о.о. p>q>r. Легко понять, что одно из чисел p,q,r четное, иначе 2 Значит r=2. Тогда \dfrac{p^p+q^q+4}{4pq}\implies 4\mid p^p+q^q,\quad p\mid q^q+4,\quad q\mid p^p+4.

\implies

p+q\equiv p^p+q^q\equiv 0\pmod 4 \quad (i)

-q\cdot \bigg( q^{\frac{q-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod p\implies -q\equiv x^2\pmod p \implies \binom{-q}{p}=1 \quad (ii)

-p\cdot \bigg( p^{\frac{p-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod q \implies -p\equiv x^2\pmod q \implies \binom{-p}{q}=1 \quad (iii)

Следовательно из свойств Символа Лежандра и Квадратичного Закона Взаимности получаем, что

1=\binom{-q}{p}\cdot \binom{-p}{q}=\Bigg( \binom{-1}{p}\cdot\binom{q}{p} \Bigg) \times \Bigg( \binom{-1}{q}\cdot\binom{p}{q}\Bigg)=\Bigg( \binom{q}{p}\cdot\binom{p}{q} \Bigg) \cdot\binom{-1}{p}\cdot \binom{-1}{q}=

\Large{ =(-1)^{ \frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{p-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{q-1}{2} } =(-1)^{(a+1)(b+1)-1}, }

где \dfrac{p-1}{2}=a,\dfrac{q-1}{2}=b.

Тогда 2\mid (a+1)(b+1)-1\implies 2\mid a,b\implies 2\mid a+b=\dfrac{p+q-2}{2}\implies p+q\equiv 2\pmod 4, но из (i)\implies 2\equiv 0\pmod 4, что конечно невозможно.

\\

Примечания: Сравнения -q \equiv x^2\pmod p и -p\equiv x^2\pmod q означают, что каждое из этих сравнений (по отдельности) имеют решение.

  0
4 года 2 месяца назад #

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019