Ануарбеков Т.

Задача №1. Докажите, что существуют бесконечно много составных натуральных чисел

$n$ , для которых число

${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ делится на

$n$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №2. Пусть

$p=9k+1$ — простое число, где число

$k$ — натуральное. Докажите, что существует целое число

$n$ такое, что

${{n}^{3}}-3n+1$ делится на

$p$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Натуральное число

$a$ и простое

$p$ таковы, что НОД

$(a,p!)=1$ . Докажите, что

${{a}^{(p-1)!}}-1$ делится на

$p!$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №4. Существуют ли простые числа

$p$ ,

$q$ и

$r$ такие, что число

$\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Найдите все натуральные

$n$ ,

$k$ ,

$a_1, a_2,\ldots, a_k$ такие, что

$n^{k+1}+1$ делится на

$(na_1+1)(na_2+1)\ldots(na_k+1)$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №6. Даны простое число

$p$ и натуральные

$k$ и

$r$ , причем

$r < p$ . Известно, что

$p^p + 1$ делится на

$pk + r$ . Докажите, что

$k$ делится на

$r$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №7. Пусть

$a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что

$a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}.$ Найдите наибольшее возможное значение

$a$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Задача №8. Решите уравнение в простых числах

$p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr.$ ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №9. Пусть

$a$ и

$b$ — различные положительные целые числа такие, что

$3^a + 2$ делится на

$3^b + 2$ . Докажите, что

$a > b^2$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №10. Положительные числа

$a$ и

$b$ таковы, что

$a^3+b^3=ab+1$ . Докажите, что

$(a-b)^2+a+b \geq 2.$ ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(10) олимпиада

Задача №11. Найдите все пары натуральных чисел

$m$ и

$n > 2$ , для которых число

$\frac{m^n+1}{n}$ — простое. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5) олимпиада