41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Задача №1. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник с

$AC > AB$ и пусть

$D$ — основание биссектрисы угла

$A$ , опущенной на

$BC$ . Отражения прямых

$AB$ и

$AC$ относительно прямой

$BC$ пересекают

$AC$ и

$AB$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Прямая, проходящая через

$D$ , пересекает

$AC$ и

$AB$ в точках

$G$ и

$H$ соответственно так, что

$G$ находится строго между

$A$ и

$C$ , а

$H$ — строго между

$B$ и

$F$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$EDG$ и

$FDH$ касаются друг друга.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$n \ge k \ge 3$ — целые числа. Покажите, что для любой целочисленной последовательности

$1 \le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$ можно выбрать неотрицательные целые числа

$b_1, b_2, \ldots, b_k$ , удовлетворяющие следующим условиям:
i)

$0 \le b_i \le n$ для каждого

$1 \le i \le k$ ,
ii) все положительные

$b_i$ различны,
iii) суммы

$a_i + b_i$ для

$1 \le i \le k$ образуют перестановку первых

$k$ членов непостоянной арифметической прогрессии.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$a$ и

$b$ — различные положительные целые числа такие, что

$3^a + 2$ делится на

$3^b + 2$ . Докажите, что

$a > b^2$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ — множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все функции

$f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ и многочлены

$P(x)$ с неотрицательными вещественными коэффициентами такие, что

$P(0) = 0$ и удовлетворяют равенству

$f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ для всех вещественных чисел

$x > y > 0$ .
комментарий/решение(2)

результаты