41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Задача №1. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с $AC > AB$ и пусть $D$ — основание биссектрисы угла $A$, опущенной на $BC$. Отражения прямых $AB$ и $AC$ относительно прямой $BC$ пересекают $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямая, проходящая через $D$, пересекает $AC$ и $AB$ в точках $G$ и $H$ соответственно так, что $G$ находится строго между $A$ и $C$, а $H$ — строго между $B$ и $F$. Докажите, что описанные окружности треугольников $EDG$ и $FDH$ касаются друг друга.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. Пусть $n \ge k \ge 3$ — целые числа. Покажите, что для любой целочисленной последовательности $1 \le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$ можно выбрать неотрицательные целые числа $b_1, b_2, \ldots, b_k$, удовлетворяющие следующим условиям:
   i) $0 \le b_i \le n$ для каждого $1 \le i \le k$,
   ii) все положительные $b_i$ различны,
   iii) суммы $a_i + b_i$ для $1 \le i \le k$ образуют перестановку первых $k$ членов непостоянной арифметической прогрессии.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Пусть $a$ и $b$ — различные положительные целые числа такие, что $3^a + 2$ делится на $3^b + 2$. Докажите, что $a > b^2$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение

---

Задача №4. Пусть $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ — множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все функции $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ и многочлены $P(x)$ с неотрицательными вещественными коэффициентами такие, что $P(0) = 0$ и удовлетворяют равенству $f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ для всех вещественных чисел $x > y > 0$.
комментарий/решение(2)

---