41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Есеп №1.

$ABC$ — сүйірбұрышты үшбұрыш (

$AC > AB$ ), ал

$AD$ оның биссектрисасы.

$BC$ түзуіне қатысты

$AB$ және

$AC$ түзулеріне симметриялы түзулер

$AC$ және

$AB$ түзулерін, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$D$ арқылы өтетін түзу

$AC$ және

$AB$ түзулерін, сәйкесінше,

$G$ және

$H$ нүктелерінде келесі шарттар орындалатындай қияды:

$G$ нүктесі

$A$ мен

$C$ арасында,

$H$ нүктесі

$B$ мен

$F$ -тің арасында жатыр.

$\triangle EDG$ және

$\triangle FDH$ -қа сырттай сызылған шеңберлер бірін бірі жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$n \ge k \ge 3$ — бүтін сандар болсын. Бүтін сандардан тұратын кез келген

$1 \le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$ сандар тізбегі үшін төмендегі үш шартты қанағаттандыратын теріс емес бүтін сандардан құралған

$b_1, b_2, \ldots, b_k$ тізбегін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз:
i) барлық

$1 \le i \le k$ үшін

$0 \le b_i \le n$ ,
ii) барлық оң

$b_i$ сандары әртүрлі,
iii)

$1 \le i \le k$ үшін

$a_i + b_i$ қосындылары тұрақты емес арифметикалық прогрессияның бастапқы

$k$ мүшесінің орын ауыстыруы болып келеді.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әртүрлі

$a$ және

$b$ натурал сандары үшін

$3^a + 2$ саны

$3^b + 2$ санына бөлінетіні белгілі.

$a > b^2$ екенін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение

Есеп №4.

$\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ — барлық нақты оң сандар жиыны болсын. Барлық

$x > y > 0$ үшін

$f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ функциялары мен коэффициенттері теріс емес нақты сандар болатын

$P(x)$ , мұнда

$P(0) = 0$ , көпмүшелерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

результаты