41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Есеп №1. $ABC$ — сүйірбұрышты үшбұрыш ($AC > AB$), ал $AD$ оның биссектрисасы. $BC$ түзуіне қатысты $AB$ және $AC$ түзулеріне симметриялы түзулер $AC$ және $AB$ түзулерін, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $D$ арқылы өтетін түзу $AC$ және $AB$ түзулерін, сәйкесінше, $G$ және $H$ нүктелерінде келесі шарттар орындалатындай қияды: $G$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында, $H$ нүктесі $B$ мен $F$-тің арасында жатыр. $\triangle EDG$ және $\triangle FDH$-қа сырттай сызылған шеңберлер бірін бірі жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $n \ge k \ge 3$ — бүтін сандар болсын. Бүтін сандардан тұратын кез келген $1 \le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$ сандар тізбегі үшін төмендегі үш шартты қанағаттандыратын теріс емес бүтін сандардан құралған $b_1, b_2, \ldots, b_k$ тізбегін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз:
   i) барлық $1 \le i \le k$ үшін $0 \le b_i \le n$,
   ii) барлық оң $b_i$ сандары әртүрлі,
   iii) $1 \le i \le k$ үшін $a_i + b_i$ қосындылары тұрақты емес арифметикалық прогрессияның бастапқы $k$ мүшесінің орын ауыстыруы болып келеді.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Әртүрлі $a$ және $b$ натурал сандары үшін $3^a + 2$ саны $3^b + 2$ санына бөлінетіні белгілі. $a > b^2$ екенін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение

---

Есеп №4. $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ — барлық нақты оң сандар жиыны болсын. Барлық $x > y > 0$ үшін $f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ функциялары мен коэффициенттері теріс емес нақты сандар болатын $P(x)$, мұнда $P(0) = 0$, көпмүшелерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---