41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Пусть $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ — множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все функции $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ и многочлены $P(x)$ с неотрицательными вещественными коэффициентами такие, что $P(0) = 0$ и удовлетворяют равенству $f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ для всех вещественных чисел $x > y > 0$.

Комментарий/решение

Пусть $\: Q(x, y) \: - \:$ обозначает нашу функцию

$$\lim \limits_{ y \to 0} \: P(y)+y \: = \: P(0)+0 \quad \lim \limits_{ y \to x} \: P(y)+y \: = \: P(x)+x$$

Значит $: \: \forall \: t \in \mathbb{R}^+ \: \: \exists \: z \in \mathbb{R}^+ \:$ что $: \: P(z)+z \: = \: t$

Утверждение 1: $\: f(x)\geq x$

От обратного $: \: \exists \: x_0 \in \mathbb{R}^+ \:$ для которого $\: x_0 - f(x_0) > 0$

$\:P(y_0)+y_0 \: = \: x_0 - f(x_0) \: \Leftrightarrow \: f(x_0) + P(y_0) \: = \: x_0-y_0$

$Q(x_0 , y_0) \: \Rightarrow \: 2y_0 \: = \: 0 \: \rightarrow \: \varnothing$

Утверждение 2: $\: P \: - \:$ линейный

От отбратного$:$

$f(x-y) \: = \: f(f(x)+P(y))-2y \geq x-y + (P(y)-y)$

Зафиксировав $\: x-y \:$ для достаточно большого $\: y \: \rightarrow \: \varnothing$

Тогда $: \: P(y) \: \equiv \: cy \:$ значит $\: c \leq 1$

Если $\: c=0$

$Q(b+a, a) - Q(a+b, b) \: \Rightarrow \: f(a)-2a=f(b)-2b \quad \forall a,b$

Значит $: \: f(x)=2x+c \:$ что очевидно не подходит

Введем новую функцию $: \:g(x)=f(x)-x$

$g(g(x)+x+cy)+g(x)+x+cy=g(x-y)+x+y$

Утверждение 3: $\: \exists \: x \:$ что $\: g(x)=0$

От обратного$:$

Пусть $\: g(x) \:$ инфиминимум функции $\: g$

$Q(f(x),g(x)) \: \Rightarrow \: f(f(f(x))+cg(x))\:=\: f(x)+2g(x)$

Что равносильно$:$

$2g(x)>(2-c)g(x) = g(f(x))+g(f(f(x))+cg(x)) \geq 2g(x)$

Значит существует такой $\: x \:$ что $\: f(x) \: = \: x$

Добивка:

$Q(x,y) \: \Rightarrow \: f(x+cy)=f(x-y)+2y$

Теперь$:$

$Q(x+cy,cy) \: \Rightarrow \: x+y+c^2y \leq f(f(x-y)+2y+c^2y)$

Что дает нам$:$

$Q(x+cy,cy) \: \Rightarrow \: x+y+c^2y \leq x+2cy$

Неравенство верно в обратную сторону, равенство при $\: c=1$

Тогда$:$ $\: f(x-y)=x-y\:$ и $\: P(y) = y \quad \forall x > y$

$Q(x,y) \: \Rightarrow \: f(x+y)=x+y \quad \forall x > y$

Повторяю данную операцию получим$:$ $\: f(x)=x \quad \forall x \in \mathbb{R}^+$

Ответ: $\: f(x)\equiv x$