Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып


a+b+c+1abc=192 теңдігі орындалатындай a,b,c оң нақты сандары берілген. a -ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
3 года 11 месяца назад #

По неравенству AM-GM, b+c+1abc331a

тогда 192=a+b+c+1abca+331a.

Заменим 3a=x, тогда x3+3x192,2x4+619x 2x419x+60

Рассмотрим функцию f(x)=2x419x+6, x=2 - его корень, а так как функция возрастающая, то при х>2,f(x)>0, поэтому наибольшее возможное значение x, удовлетворяющее наше неравенство - 2, a8.

Пример для a=8: b=c=12, 8+12+12+181212=192

  1
3 года 11 месяца назад #

Есть решение без функции?

  2
3 года 11 месяца назад #

Наверное есть

  1
3 года 11 месяца назад #

Как решить данную функцию?

Извините.

  2
3 года 11 месяца назад #

f(x)0 при определенных х, но max(x)=2

пред. Правка 2   2
3 года 11 месяца назад #

19/2=a+b+c+1/abc=

=15a16+a16+b+c+1abc15a16+2

откуда следует, что a8, остается найти пример a=8,b=c=1/2

пред. Правка 2   5
3 года 11 месяца назад #

Дополню решение выше:

Преобразуем так 192x3+3x=16x316+1x+1x+1x1919x1631616x3x45245x2.

  4
3 года 11 месяца назад #

Если сделать AMGM на слагаемые

a16+...+a16+b+c+1abc

Получаем 8a.

Примером является a=8,b=c=12.

  2
3 года 11 месяца назад #

В Официальном решении было как у "pokpokben", но в конце использовался факторизейшн по типу:

(x2)(2x3+4x2+8x3)0

А дальше x(max)=2 a(max)=8, с примером b,c=12