Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып
a+b+c+1abc=192 теңдігі орындалатындай a,b,c оң нақты сандары берілген. a -ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
(
Ануарбеков Т.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По неравенству AM-GM, b+c+1abc≥33√1a
тогда 192=a+b+c+1abc≥a+33√1a.
Заменим 3√a=x, тогда x3+3x≤192,2x4+6≤19x 2x4−19x+6≤0
Рассмотрим функцию f(x)=2x4−19x+6, x=2 - его корень, а так как функция возрастающая, то при х>2,f(x)>0, поэтому наибольшее возможное значение x, удовлетворяющее наше неравенство - 2, ⇒ a≤8.
Пример для a=8: b=c=12, 8+12+12+18⋅12⋅12=192
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.