Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Задача №1.  Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что a+b+c+1abc=192. Найдите наибольшее возможное значение a. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9)
Задача №2.  На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах a,b,c, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах a,b,c, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем m можно утверждать, что m такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(5)
Задача №3.  Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а диагонали AC и BD — в точке Q. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Описанные окружности треугольников BCQ и MNQ пересекаются в точке T (TQ). Докажите, что если APD=90, то прямая PT делит отрезок MN пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Треугольник ABC (AC>BC) вписан в окружность ω. Биссектриса CN этого треугольника пересекает ω в точке M (MC). На отрезке BN отмечена произвольная точка T. Пусть H — ортоцентр треугольника MNT. Описанная окружность треугольника MNH пересекает ω в точке R (RM). Докажите, что ACT=BCR. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)
Задача №5.  Существуют ли попарно различные натуральные числа a1,a2,,a100, одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
i) число a1a2a100 делится на ai+aj при всех 1i<j100;
ii) для каждого k=1,2,,100 найдутся индексы i,j такие, что 1i<j100 и число a1a2ak1ak+1a100 не делится на ai+aj? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Дано натуральное число n. Последовательность (x1,x2,,xn) действительных чисел называется хорошей, если x31+x32++x3i=(x1+x2++xi)2 для каждого i=1,2,,n. Докажите, что количество различных хороших последовательностей не больше чем 3n1+2n1. (Последовательности (x1,x2,,xn) и (y1,y2,,yn) считаются различными, если xiyi хотя бы для одного i=1,2,,n.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)
результаты