Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс
Задача №1. Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что a+b+c+1abc=192. Найдите наибольшее возможное значение a.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №2. На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах a,b,c, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах a,b,c, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем m можно утверждать, что m такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а диагонали AC и BD — в точке Q. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Описанные окружности треугольников BCQ и MNQ пересекаются в точке T (T≠Q). Докажите, что если ∠APD=90∘, то прямая PT делит отрезок MN пополам.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Треугольник ABC (AC>BC) вписан в окружность ω. Биссектриса CN этого треугольника пересекает ω в точке M (M≠C). На отрезке BN отмечена произвольная точка T. Пусть H — ортоцентр треугольника MNT. Описанная окружность треугольника MNH пересекает ω в точке R (R≠M). Докажите, что ∠ACT=∠BCR.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №5. Существуют ли попарно различные натуральные числа a1,a2,…,a100, одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
i) число a1a2…a100 делится на ai+aj при всех 1≤i<j≤100;
ii) для каждого k=1,2,…,100 найдутся индексы i,j такие, что 1≤i<j≤100 и число a1a2…ak−1ak+1…a100 не делится на ai+aj? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)
i) число a1a2…a100 делится на ai+aj при всех 1≤i<j≤100;
ii) для каждого k=1,2,…,100 найдутся индексы i,j такие, что 1≤i<j≤100 и число a1a2…ak−1ak+1…a100 не делится на ai+aj? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)
Задача №6. Дано натуральное число n. Последовательность (x1,x2,…,xn) действительных чисел называется хорошей, если x31+x32+…+x3i=(x1+x2+…+xi)2 для каждого i=1,2,…,n. Докажите, что количество различных хороших последовательностей не больше чем 3n−1+2n−1. (Последовательности (x1,x2,…,xn) и (y1,y2,…,yn) считаются различными, если xi≠yi хотя бы для одного i=1,2,…,n.)
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)