Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Существуют ли попарно различные натуральные числа $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$, одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
i) число $a_1a_2\ldots a_{100}$ делится на $a_i+a_j$ при всех $1\le i < j\le 100$;
ii) для каждого $k=1,2,\ldots ,100$ найдутся индексы $i,j$ такие, что $1\le i < j\le 100$ и число $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ не делится на $a_i+a_j$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Да, существуют.
Решение. Возьмём какое-нибудь простое число $p>200$ и числа $a_1$, \dots, $a_{100}$ такие, что $a_i\equiv pi\pmod {p^{101}}$ при $1\leq i\leq 99$ и $a_{100}\equiv p^{100}-p\pmod {p^{101}}$. При этом, очевидно, каждое из 100 чисел $a_i$ будет содержать $p$ ровно в первой степени, сумма $a_1+a_{100}$ в сотой, а остальные попарные суммы -- в первой. Следовательно, произведение всех 100 чисел будет содержать $p$ не в меньшей степени, чем любая из попарных сумм, а произведение любых 99 -- в меньшей степени, чем сумма $a_1+a_{100}$.
    Может случиться, что некоторое простое $q\ne p$ содержится в произведении $a_1\dots a_{100}$ в меньшей степени, чем в какой-то из попарных сумм. Если домножить все $a_i$ на $q$, то степень, в которой $q$ содержится в каждой из попарных сумм, увеличится на 1, а степень вхождения $q$ в произведение всех чисел -- на 100. Проделав такие операции достаточно много раз, мы добьёмся того, чтобы все $q\ne p$ входили в произвдение всех чисел не в меньшей степени, чем в любую из попарных сумм. При этом, очевидно, степени вхождения $p$ в эти числа не изменятся, и новые числа будут удовлетворять условию задачи.

Отличное решение!

P.S: можно дальше пойти по-другому: как описано в выше стоящем решении, $a_1*a_2*...*a_{k-1}*a_{k+1}...*a_{100}$ не делится на $a_1+a_{100}$ для всех $k=1,2,...,100$, если взять $a_i=p*i$.

Нам лишь нужно, чтобы $a_1 * ... * a_{100}$ делилось на $a_i+a_j$, то есть $p^{99}*99!*(p^{99}-1)$ делилось на $i+j$. заметим, что произведение $i+j$ для всех пар $i, j <100$ - фиксированное число, тогда возьмем $p = 1$ (mod $\prod \limits_{1<=i<j<һ100}^{}{(i+j)}$).

По теореме Дирихле это возможно

его боялись даже чеченцы