Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып
i) барлық 1≤i<j≤100 үшін, a1a2…a100 саны ai+aj санына бөлінеді;
ii) әрбір k=1,2,…,100 үшін, 1≤i<j≤100 және a1a2…ak−1ak+1…a100 саны ai+aj санына бөлінбейтіндей i,j индекстері табылады? ( А. Голованов )
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. Да, существуют.
Решение. Возьмём какое-нибудь простое число p>200 и числа a1, \dots,
a100 такие, что
a_i\equiv pi\pmod {p^{101}} при 1\leq i\leq 99 и
a_{100}\equiv p^{100}-p\pmod {p^{101}}.
При этом, очевидно, каждое из 100 чисел a_i
будет содержать p ровно в первой степени, сумма a_1+a_{100} в сотой, а
остальные попарные суммы -- в первой. Следовательно, произведение всех 100
чисел будет содержать p не в меньшей степени, чем любая из попарных сумм,
а произведение любых 99 -- в меньшей степени, чем сумма a_1+a_{100}.
Может случиться, что некоторое простое q\ne p содержится в произведении
a_1\dots a_{100} в меньшей степени, чем в какой-то из попарных сумм.
Если домножить все a_i на q, то степень, в которой q содержится в каждой
из попарных сумм, увеличится на 1, а степень вхождения q в произведение
всех чисел -- на 100. Проделав такие операции достаточно много раз, мы добьёмся того, чтобы
все q\ne p входили в произвдение всех чисел не в меньшей степени, чем
в любую из попарных сумм. При этом, очевидно, степени вхождения p в эти
числа не изменятся, и новые числа будут удовлетворять условию задачи.
Отличное решение!
P.S: можно дальше пойти по-другому: как описано в выше стоящем решении, a_1*a_2*...*a_{k-1}*a_{k+1}...*a_{100} не делится на a_1+a_{100} для всех k=1,2,...,100, если взять a_i=p*i.
Нам лишь нужно, чтобы a_1 * ... * a_{100} делилось на a_i+a_j, то есть p^{99}*99!*(p^{99}-1) делилось на i+j. заметим, что произведение i+j для всех пар i, j <100 - фиксированное число, тогда возьмем p = 1 (mod \prod \limits_{1<=i<j<һ100}^{}{(i+j)}).
По теореме Дирихле это возможно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.