Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}$ теңдігі орындалатындай

$a,b,c$ оң нақты сандары берілген.

$a$ -ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9)

Есеп №2. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар

$a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар

$a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен).

$m$ --нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан,

$m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(5)

Есеп №3.

$ABCD$ дөңес төртбұрышының

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының созындысы

$P$ нүктесінде, ал

$AC$ және

$BD$ диагональдері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$M$ және

$N$ нүктелері сәйкесінше

$AC$ және

$BD$ диагональдерінің орталары.

$BCQ$ және

$MNQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$T$ (

$T\ne Q$ ) нүктесінде қиылысады. Егер

$\angle APD =90^\circ$ болса, онда

$PT$ түзуі

$MN$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ (

$AC > BC$ ) үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың

$CN$ биссектрисасы

$\omega$ --ны

$M$ (

$M\ne C$ ) нүктесінде қияды.

$BN$ кесіндісінің бойында кез келген

$T$ нүктесі белгіленген.

$H$ нүктесі —

$MNT$ үшбұрышының ортоцентрі болсын.

$MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$\omega$ --ны

$R$ (

$R\ne M$ ) нүктесінде қияды.

$\angle ACT = \angle BCR$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Есеп №5. Бір уақытта келесі шарттарды қанағаттандыратын әртүрлі натурал

$a_1,a_2, \ldots, a_{100}$ сандары табылады ма:
i) барлық

$1\le i < j\le 100$ үшін,

$a_1a_2\ldots a_{100}$ саны

$a_i+a_j$ санына бөлінеді;
ii) әрбір

$k=1,2,\ldots ,100$ үшін,

$1\le i < j\le 100$ және

$a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ саны

$a_i+a_j$ санына бөлінбейтіндей

$i,j$ индекстері табылады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Натурал

$n$ саны берілген. Әрбір

$i=1,2, \ldots,n$ үшін

$x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2$ теңдігі орындалатын болса, онда

$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ нақты сандар тізбегі жақсы деп аталады. Әртүрлі жақсы тізбектердің саны

$3^{n-1}+2^{n-1}$ санынан көп емес екенін дәлелдеңіз. (Кем дегенде бір

$i=1,2, \ldots, n$ үшін

$x_i\ne y_i$ болса, онда

$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ және

$(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ тізбектері әртүрлі болып саналады.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)

результаты