Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Задача №1. Неравнобедренный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ . Касательная к этой окружности в точке

$C$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Пусть биссектриса угла

$CDB$ пересекает отрезки

$AC$ и

$BC$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. На стороне

$AB$ взята точка

$M$ такая, что

$AK/BL=AM/BM$ . Пусть перпендикуляры из точки

$M$ к прямым

$KL$ и

$DC$ пересекают прямые

$AC$ и

$DC$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что угол

$CQP$ в два раза меньше угла

$ACB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Даны действительные числа

$x,y,z\ge \dfrac{1}{2}$ такие, что

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ . Докажите неравенство

$\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z} \right)\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)

Задача №3. Бесконечная, строго возрастающая последовательность

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натуральных чисел удовлетворяет условию

${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ , при всех

$n\ge 1$ . Докажите, что существуют бесконечно много троек

$\left( k,l,m \right)$ натуральных чисел таких, что

$k < l < m$ и

${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Остроугольный треугольник

$ABC$

$(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке

$O$ , а

$CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча

$DA$ за точку

$A$ взята точка

$K$ , а на отрезке

$BD$ точка

$L$

$(DL > LB)$ так, что

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ . Докажите, что прямая

$KL$ проходит через середину отрезка

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Рассмотрим всевозможные наборы натуральных чисел

$(x_1,x_2, \ldots,x_{100})$ такие, что

$1 \le x_i \le 2017$ для каждого

$i =1, 2, \ldots, 100$ . Будем говорить, что набор

$(y_1,y_2, \ldots,y_{100})$ больше набора

$(z_1,z_2, \ldots,z_{100})$ , если

$y_i > z_i$ для каждого

$i =1, 2, \ldots, 100$ . Какое наибольшее число наборов можно выписать на доску так, чтобы никакой набор не был больше никакого другого? ( Ильясов С., Аманкельды А. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите, что существуют бесконечно много составных натуральных чисел

$n$ , для которых число

${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ делится на

$n$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5)

результаты