Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңберге

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$CDB$ бұрышының биссектрисасы

$AC$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қисын.

$AB$ қабырғасынан

$AK/BL=AM/BM$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$KL$ және

$DC$ түзулеріне

$M$ нүктесінен түсірілген перпендикулярлар

$AC$ және

$DC$ түзулерін сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қисын.

$CQP$ бұрышының

$ACB$ бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Нақты

$x,y,z\ge \frac{1}{2}$ сандары үшін

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ теңдігі орындалады. Сол сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Шексіз, қатаң түрде өспелі

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натурал сандар тізбегі

${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ шартын қанағаттандырады, бұл жерде

$n$ — натурал сан.

$k < l < m$ теңсіздігі мен

${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ теңдігі орындалатындай шексіз көп

$\left( k,l,m \right)$ натурал үштіктері бар екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Сүйір бұрышты

$ABC$

$(AC > BC)$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі.

$DA$ сәулесінің

$A$ -дан ары созындысынан

$K$ , ал

$BD$ кесіндісінен

$L$

$(DL > LB)$ нүктелері

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған.

$KL$ түзуінің

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әр

$i =1, 2, \ldots, 100$ үшін

$1 \le x_i \le 2017$ теңсіздігі орындалатын

$(x_1,x_2, \ldots,x_{100})$ барлық мүмкін натурал сандар жиынтықтарын қарастырайық. Егер барлық

$i =1, 2, \ldots, 100$ үшін

$y_i > z_i$ болса, онда

$(y_1,y_2, \ldots,y_{100})$ жиынтығын

$(z_1,z_2, \ldots,z_{100})$ жиынтығынан үлкен деп айтамыз. Ешқандай жиынтық басқа ешқандай жиынтықтан үлкен болмайтындай, тақтаға ең көп дегенде қанша жиынтықтарды жазып шығуға болады? ( Ильясов С., Аманкельды А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ саны

$n$ -ге бөлінетіндей, шексіз көп құрама натурал

$n$ санының бар екенін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5)

результаты