Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс
Задача №1. Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке M, а продолжений сторон AC и BC — в точках N и K соответственно. На отрезке NK выбраны точки P и Q так, что AN=AP и BK=BQ. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MPQ равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №2. Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что a+b+c≥3 и a2+b2+c2=2abc+1. Докажите, что a+b+c≤2√abc+1.
(
Мирзахмедов A.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Дана клетчатая доска 2n×2n. Самат закрашивает некоторые клетки в синий или в красный цвет. Он должен раскрасить ровно k клеток. Фархат раскрашивает все остальные клетки доски в синий или красный цвет так, чтобы итоговая доска удовлетворяла следующим условиям:
в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк r1 и r2 есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
Найдите наименьшее возможное значение k (в зависимости от n), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк r1 и r2 есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
Найдите наименьшее возможное значение k (в зависимости от n), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть x и y положительные действительные числа такие, что x2y2+2x3y=1. Найдите наименьшее возможное значение суммы x+y.
(
Н. Кунгожин
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. Решите уравнение в простых числах p3+q3+r3=p2qr.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Касательная прямая в точке H к описанной окружности треугольника BHC пересекает прямые AB и AC в точках Q и P соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и APQ вторично пересекаются в точке K. Касательные в точках A и K к описанной окружности треугольника APQ пересекаются в точке T. Докажите, что прямая TH проходит через середину отрезка BC.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)