қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс
Задача №1. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $M$, а продолжений сторон $AC$ и $BC$ — в точках $N$ и $K$ соответственно. На отрезке $NK$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AN=AP$ и $BK=BQ$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $MPQ$ равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c\ge 3$ и $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Докажите, что $$a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1.$$
(
Мирзахмедов A.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Дана клетчатая доска $2n\times 2n$. Самат закрашивает некоторые клетки в синий или в красный цвет. Он должен раскрасить ровно $k$ клеток. Фархат раскрашивает все остальные клетки доски в синий или красный цвет так, чтобы итоговая доска удовлетворяла следующим условиям:
в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк $r_1$ и $r_2$ есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
Найдите наименьшее возможное значение $k$ (в зависимости от $n$), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк $r_1$ и $r_2$ есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
Найдите наименьшее возможное значение $k$ (в зависимости от $n$), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $x$ и $y$ положительные действительные числа такие, что $x^2y^2 + 2x^3y = 1$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $x + y$.
(
Н. Кунгожин
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. Решите уравнение в простых числах $p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr.$
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Касательная прямая в точке $H$ к описанной окружности треугольника $BHC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $APQ$ вторично пересекаются в точке $K$. Касательные в точках $A$ и $K$ к описанной окружности треугольника $APQ$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что прямая $TH$ проходит через середину отрезка $BC$.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)