қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс
Есеп №1. \q1 $ABC$ үшбұрышының іштейсырт сызылған шеңбері $AB$ қабырғасын $M$, ал $AC$ және $BC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше, $N$ және $K$ нүктелерінде жанайды. $NK$ кесіндісінде $P$ және $Q$ нүктелері $AN=AP$ және $BK=BQ$ болатындай алынған. $MPQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. \q2 Оң нақты $a,b,c$ сандары үшін $a+b+c\ge 3$ теңсіздігі мен $a^2+b^2+c^2=2abc+1$ теңдігі орындалады. $a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Мирзахмедов A.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. \q3 Өлшемі $2n\times 2n$ ұяшықты тақта берілген. Самат тақтаның кейбір ұяшықтарын көк немесе қызыл түске бояйды. Ол жалпы дәл $k$ ұяшықты бояу керек. Содан кейін Фархат қалған барлық боялмаған ұяшықтарды көк немесе қызыл түске келесі шарттар орындалатындай бояйды:
әр қатарда және әр бағанда көк және қызыл ұяшықтар саны тең;
ешқандай қатарда және ешқандай бағанда қатар келген бір түсті үш ұяшық жоқ;
кез келген екі қатар әртүрлі және кез келген екі баған әртүрлі. (Егер $r_1$ және $r_2$ қатарларының бір бағанда жататын әртүрлі түсті екі ұяшығы табылса, ондай $r_1$ және $r_2$ қатарларын әртүрлі деп есептейміз. Дәл сол сияқты баған үшін әртүрлі бағандарды анықтаймыз.)
Фархат Саматтың қалай бояғанына қарамастан тақтаны ең көп дегенде бір әдіспен ғана бояй алатындай $n$-ге тәуелді ең кіші мүмкін $k$ санын табыңыз. (Ұяшықты бірінші рет бояғаннан кейін үстінен тағы бояуға болмайды.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
әр қатарда және әр бағанда көк және қызыл ұяшықтар саны тең;
ешқандай қатарда және ешқандай бағанда қатар келген бір түсті үш ұяшық жоқ;
кез келген екі қатар әртүрлі және кез келген екі баған әртүрлі. (Егер $r_1$ және $r_2$ қатарларының бір бағанда жататын әртүрлі түсті екі ұяшығы табылса, ондай $r_1$ және $r_2$ қатарларын әртүрлі деп есептейміз. Дәл сол сияқты баған үшін әртүрлі бағандарды анықтаймыз.)
Фархат Саматтың қалай бояғанына қарамастан тақтаны ең көп дегенде бір әдіспен ғана бояй алатындай $n$-ге тәуелді ең кіші мүмкін $k$ санын табыңыз. (Ұяшықты бірінші рет бояғаннан кейін үстінен тағы бояуға болмайды.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. \q4 Оң нақты $x$ және $y$ сандары үшін $x^2y^2 + 2x^3y = 1$ теңдігі орындалады. $x + y$ қосындысының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңыз.
(
Н. Кунгожин
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №5. \q5 $p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr$ теңдеуін жай сандарда шешіңіз.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. \q6 Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $BHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $H$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ және $AC$ түзулерін, сәйкесінше, $Q$ және $P$ нүктелерінде қияды. $ABC$ және $APQ$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $APQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $A$ және $K$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $T$ нүктесінде қиылысады. $TH$ түзуі $BC$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)