Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Есеп №1. \q1

$ABC$ үшбұрышының іштейсырт сызылған шеңбері

$AB$ қабырғасын

$M$ , ал

$AC$ және

$BC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше,

$N$ және

$K$ нүктелерінде жанайды.

$NK$ кесіндісінде

$P$ және

$Q$ нүктелері

$AN=AP$ және

$BK=BQ$ болатындай алынған.

$MPQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7)

Есеп №2. \q2 Оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$a+b+c\ge 3$ теңсіздігі мен

$a^2+b^2+c^2=2abc+1$ теңдігі орындалады.

$a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(4)

Есеп №3. \q3 Өлшемі

$2n\times 2n$ ұяшықты тақта берілген. Самат тақтаның кейбір ұяшықтарын көк немесе қызыл түске бояйды. Ол жалпы дәл

$k$ ұяшықты бояу керек. Содан кейін Фархат қалған барлық боялмаған ұяшықтарды көк немесе қызыл түске келесі шарттар орындалатындай бояйды:
   әр қатарда және әр бағанда көк және қызыл ұяшықтар саны тең;
   ешқандай қатарда және ешқандай бағанда қатар келген бір түсті үш ұяшық жоқ;
   кез келген екі қатар әртүрлі және кез келген екі баған әртүрлі. (Егер

$r_1$ және

$r_2$ қатарларының бір бағанда жататын әртүрлі түсті екі ұяшығы табылса, ондай

$r_1$ және

$r_2$ қатарларын әртүрлі деп есептейміз. Дәл сол сияқты баған үшін әртүрлі бағандарды анықтаймыз.)
Фархат Саматтың қалай бояғанына қарамастан тақтаны ең көп дегенде бір әдіспен ғана бояй алатындай

$n$ -ге тәуелді ең кіші мүмкін

$k$ санын табыңыз. (Ұяшықты бірінші рет бояғаннан кейін үстінен тағы бояуға болмайды.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. \q4 Оң нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін

$x^2y^2 + 2x^3y = 1$ теңдігі орындалады.

$x + y$ қосындысының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңыз. ( Н. Кунгожин )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. \q5

$p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr$ теңдеуін жай сандарда шешіңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4)

Есеп №6. \q6 Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$BHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$H$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ және

$AC$ түзулерін, сәйкесінше,

$Q$ және

$P$ нүктелерінде қияды.

$ABC$ және

$APQ$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$APQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$A$ және

$K$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$T$ нүктесінде қиылысады.

$TH$ түзуі

$BC$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(7)

результаты