қазақша
русскийМирзахмедов A.
Задача №1. Для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ выполнено равенство $a^3 + b^3 + c^3 + abc = 4$. Докажите, что $a^3 b + b^3 c + c^3 a \le 3$. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c\ge 3$ и $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Докажите, что $$a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1.$$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №3. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2.$ Докажите неравенство $$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.$$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №4. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2.$ Докажите неравенство $$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.$$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение олимпиада