Мирзахмедов A.

Задача №1. Для неотрицательных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ выполнено равенство

$a^3 + b^3 + c^3 + abc = 4$ . Докажите, что

$a^3 b + b^3 c + c^3 a \le 3$ . ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Пусть

$a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что

$a+b+c\ge 3$ и

$a^2+b^2+c^2=2abc+1$ . Докажите, что

$a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1.$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №3. Пусть

$a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что

$\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2.$ Докажите неравенство

$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №4. Пусть

$a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что

$\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2.$ Докажите неравенство

$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение олимпиада