Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс
Задача №1. В окружность ω с центром O вписан такой треугольник ABC, в котором ∠C>90∘ и AC>BC. Касательная прямая к ω в точке C пересекает прямую AB в точке D. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AOB. Прямые OD и AC повторно пересекают Ω в точках E и F соотвественно. Прямые OF и CE пересекаются в точке T, а прямые OD и BC — в точке K. Докажите, что точки O, T, B, K лежат на одной окружности.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дано целое число n>100. Целые числа от 1 до 4n разбиты на n групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее (n−6)22 четверок (a,b,c,d) целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) 1≤a<b<c<d≤4n;
(ii) числа a,b,c,d лежат в попарно разных группах;
(iii) c−b≤|ad−bc|≤d−a. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
(i) 1≤a<b<c<d≤4n;
(ii) числа a,b,c,d лежат в попарно разных группах;
(iii) c−b≤|ad−bc|≤d−a. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что max Докажите неравенство \frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.
(
Мирзахмедов A.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Дан граф G, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины G можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки).
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Даны натуральные числа a,b,m и k, где k\ge 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n такие, что \text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 (\varphi_1(n) = \varphi(n) — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до n, которые взаимно просты с n, \varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n)) при всех i\ge 1, а [ x] — целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми углами 60^\circ. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго внутри треугольника.)
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)