Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Задача №1. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан такой треугольник $ABC$, в котором $\angle C > 90^\circ$ и $AC>BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AOB$. Прямые $OD$ и $AC$ повторно пересекают $\Omega$ в точках $E$ и $F$ соотвественно. Прямые $OF$ и $CE$ пересекаются в точке $T$, а прямые $OD$ и $BC$ — в точке $K$. Докажите, что точки $O$, $T$, $B$, $K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дано целое число $n > 100$. Целые числа от 1 до $4n$ разбиты на $n$ групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ четверок $(a, b, c, d)$ целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) числа $a, b, c, d$ лежат в попарно разных группах;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2.$ Докажите неравенство $$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3.$$ ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение

Задача №4. Дан граф $G$, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины $G$ можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение

Задача №5. Даны натуральные числа $a,b,m$ и $k$, где $k\ge 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ такие, что $$\text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ ($\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до $n$, которые взаимно просты с $n$, $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ при всех $i\ge 1$, а $[ x]$ — целая часть числа $x$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Задача №6. Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми углами $60^\circ$. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго внутри треугольника.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты