Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Есеп №1. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне

$ABC$ үшбұрышы іштей сызылған (

$\angle C > 90^\circ$ және

$AC>BC$ ).

$\omega$ -ға

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$AB$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды.

$\Omega$ —

$AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын.

$OD$ және

$AC$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$OF$ және

$CE$ түзулері

$T$ , ал

$OD$ және

$BC$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$O$ ,

$T$ ,

$B$ ,

$K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Бүтін

$n > 100$ саны берілген. 1-ден

$4n$ -ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын

$n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде

$\dfrac{(n-6)^2}{2}$

$(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
(i)

$1\le a < b < c < d\le 4n$ ;
(ii)

$a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
(iii)

$c - b\le |ad - bc|\le d - a$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2$ шарты орындалады.

$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение

Есеп №4. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын

$G$ графы берілген. Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелері болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың ішінде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгілі. Қызыл нүктелерді қосатын кез келген кесінді қара нүктелерді қосатын ешбір кесіндімен қиылыспайтындай ұштары бір түсті бірнеше кесінділерді жүргізуге болатынын, және

$G$ -ның әрбір төбесінен сол түске боялған кез келген төбеге жете алатындай, бірнеше кесінді жүргізе алатынымызды дәлелдеңіз (графтың қабырғалары — бұл жүргізілген кесінділер). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение

Есеп №5.

$a,b,m$ және

$k\ge 2$ натурал сандары берілген.

$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1$ болатындай шексіз көп натурал

$n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден

$n$ -ге дейін неше сан

$n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық

$i\ge 1$ үшін

$\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ .

$[x]$ арқылы

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №6. Қабырғасы 3-ке тең дұрыс үшбұрыштың ішінде қабырғасы 1,061-ке тең және сүйір бұрышы

$60^\circ$ -қа тең екі ромб жатыр. Осы екі ромб бір-бірімен қиылысатынын дәлелдеңіз. (Ромбтың төбелері үшбұрыштың ішінде қатаң түрде орналасқан.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты