Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Есеп №1. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған ($\angle C > 90^\circ$ және $AC>BC$). $\omega$-ға $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $\Omega$ — $AOB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $OD$ және $AC$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $OF$ және $CE$ түзулері $T$, ал $OD$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $O$, $T$, $B$, $K$ нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Бүтін $n > 100$ саны берілген. 1-ден $4n$-ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын $n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ $(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) $a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң нақты $a,b,c$ сандары үшін $\max \left( \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc},\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca},\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \right)\le \dfrac{5}2$ шарты орындалады. $$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3$$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение

Есеп №4. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 2000 нүктеден тұратын $G$ графы берілген. Олардың 1000-ы қара, ал қалған 1000-ы қызыл түске боялған. 100 қызыл нүкте дөңес 100-бұрыштың төбелері болатындай, ал қалған 1900 нүкте осы 100-бұрыштың ішінде жататындай 100 қызыл нүкте табылатыны белгілі. Қызыл нүктелерді қосатын кез келген кесінді қара нүктелерді қосатын ешбір кесіндімен қиылыспайтындай ұштары бір түсті бірнеше кесінділерді жүргізуге болатынын, және $G$-ның әрбір төбесінен сол түске боялған кез келген төбеге жете алатындай, бірнеше кесінді жүргізе алатынымызды дәлелдеңіз (графтың қабырғалары — бұл жүргізілген кесінділер). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение

Есеп №5. $a,b,m$ және $k\ge 2$ натурал сандары берілген. $$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ болатындай шексіз көп натурал $n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден $n$-ге дейін неше сан $n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық $i\ge 1$ үшін $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$. $[x]$ арқылы $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №6. Қабырғасы 3-ке тең дұрыс үшбұрыштың ішінде қабырғасы 1,061-ке тең және сүйір бұрышы $60^\circ$-қа тең екі ромб жатыр. Осы екі ромб бір-бірімен қиылысатынын дәлелдеңіз. (Ромбтың төбелері үшбұрыштың ішінде қатаң түрде орналасқан.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты