Processing math: 100%

Зауытхан А.


Задача №1.  Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Касательная прямая в точке H к описанной окружности треугольника BHC пересекает прямые AB и AC в точках Q и P соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и APQ вторично пересекаются в точке K. Касательные в точках A и K к описанной окружности треугольника APQ пересекаются в точке T. Докажите, что прямая TH проходит через середину отрезка BC. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №2.  Дан граф G, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины G можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Дан граф G, вершинами которого являются 2000 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 1000 из этих точек покрашено в черный цвет, а остальные 1000 в красный. Оказалось, что существуют 100 красных точек, которые образуют такой выпуклый 100-угольник, что все остальные 1900 точек лежат внутри этого 100-угольника. Докажите, что можно провести несколько отрезков с одноцветными концами так, чтобы любой отрезок, соединяющие красные точки не пересекался с любым отрезком, соединяющим черные точки, и при этом из любой вершины G можно было добраться до любой вершины того же цвета (ребра графа — это проведенные отрезки). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Даны положительные действительные числа a,b,c такие, что abc=1. Докажите, что (a3b+b3c+c3a)+2(ab+bc+ca)+(a+b+c)4(ab+bc+ca). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №5.  Жибек загадывает два различных действительных числа a и b, а Ержан пытается их найти. За один ход Ержан придумывает многочлен P(x) степени 2024 с действительными коэффициентами, после чего Жибек сообщает ему значение P(a)P(b). Докажите, что за три хода Ержан сможет гарантированно найти числа a и b. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №6.  Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №7.  Даны положительные действительные числа a,b,c такие, что abc=1. Докажите, что (a3b+b3c+c3a)+2(ab+bc+ca)+(a+b+c)4(ab+bc+ca). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №8.  Найдите все функции f:NN такие, что fm(n)=fmn(m) при всех натуральных mn2024. (N — множество натуральных чисел, f0(k)=k и fl(k)=f(fl1(k)) при всех целых l1.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №10.  Неотрицательные действительные числа a,b,c,d таковы, что (ab)(bc)(cd)(da)a2+b2+c2+d2=12. Докажите, что abcd<1,61. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №11.  Окружность ω с центром в точке I, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и AEF вторично пересекаются в точке K. Прямые EF и AK пересекаются в точке X и пересекают прямую BC в точках Y и Z соответственно. Касательные прямые к ω, отличные от BC, проходящие через точки Y и Z, касаются ω в точках P и Q соответственно. Пусть прямые AP и KQ пересекаются в точке R. Докажите, что если M — середина отрезка YZ, то IRXM. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №12.  Дано целое число n>1. Доску n×n раскрасили шахматным образом в белый и черный цвет. Фигурой назовем любой непустой набор различных клеток доски. Фигуры F1 и F2 назовем подобными, если F1 можно получить из F2 с помощью поворота относительно центра доски на угол кратный 90 и параллельного переноса. (Любая фигура подобна самой себе.) Фигуру F назовем связной, если для любых клеток a,bF найдется последовательность клеток c1,,cmF такая, что c1=a, cm=b, а также ci и ci+1 имеют общую сторону для каждого 1im1. Найдите наибольшее возможное значение k такое, что для любой связной фигуры F, состоящей из k клеток, найдутся фигуры F1,F2 подобные F, что в F1 белых клеток больше, чем черных, а в F2 белых клеток меньше, чем черных. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13.  Окружность ω с центром в точке I, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и AEF вторично пересекаются в точке K. Прямые EF и AK пересекаются в точке X и пересекают прямую BC в точках Y и Z соответственно. Касательные прямые к ω, отличные от BC, проходящие через точки Y и Z, касаются ω в точках P и Q соответственно. Пусть прямые AP и KQ пересекаются в точке R. Докажите, что если M — середина отрезка YZ, то IRXM. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №14.  Игроки A и B играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок A прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок B пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход B может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем A говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли B гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15.  Игроки A и B играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок A прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок B пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход B может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем A говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли B гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №16.  В окружность Ω с центром O вписан выпуклый шестиугольник A1C2B1B2C1A2. Лучи A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и A2C2 — в точке Q. Окружность Γ1 касается прямых OB1 и OC1 в точках B1 и C1 соответственно, а окружность Γ2 касается прямых OB2 и OC2 в точках B2 и C2 соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой PQ, переводящая Γ1 в Γ2. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(3) олимпиада