Областная олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$ ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Назовем пересечение $YI$ и $AC$ как $M$.

Тогда пусть $\angle{AYM}=x;\angle{MYC}=y;\angle{IAC}=\angle{IAB}=a;\angle{ICA}=\angle{ICB}=c$

По угловой форме теоремы Чевы для треугольника $AYC$ получим(чевианы пересекаются в $I$), что $\dfrac{Sin90°}{Sina} × \dfrac{Siny}{Sinx} × \dfrac{Sinc}{Sinc}=1 \Rightarrow \dfrac{Siny}{Sinx}=Sina$

По теорема синусов для $\triangle{ABC}$ получим $\dfrac{AB}{Sin2c}=\dfrac{BC}{Sin2a}$

Из условия задачи следует, что $1=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}$

По теореме синусов для треугольников $AYM;MYC$ получим, что

$\dfrac{AM}{Sinx}=\dfrac{YM}{Sin(90°+a)}$ и $\dfrac{MC}{Siny}=\dfrac{YM}{Sin2c}$

Тогда $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{SinxSin2c}{Sin(90°+a)Siny}=\dfrac{SinxSin2c}{CosaSiny}$ Зная чему равен $\dfrac{Siny}{Sinx}$ легко сделать вывод, что $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{Sin2c}{SinaCosa}=\dfrac{Sin2c}{\dfrac{Sin2a}{2}}=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}=1$ и получаем требуемое

$YI \cap AC=X$.

$AB=c,BC=a,CA=b.$

Из условия $AC$ - наибольшая сторона в $\triangle ABC$

Для треугольника $ADC$ и секущей $X-I-Y$ воспользуемся теоремой Менелая:

$$\frac{AX}{XC}\cdot\frac{CY}{YD}\cdot\frac{DI}{IA}=1$$

Поэтому требуется установить равенство $\frac{CY}{YD}=\frac{IA}{ID}$.

$$\frac{IA}{ID}=\frac{b}{CD}$$

$$\frac{CD}{BD}=\frac{b}{c}, BD+DC=a \Rightarrow CD=\frac{ab}{b+c}, \frac{b}{CD}=\frac{b+c}{a}$$

$$\frac{YB}{YC}=\frac{c}{b}, YC-YB=a \Rightarrow YC=\frac{ab}{b-c}$$

$$\frac{CY}{YD}=\frac{\frac{ab}{b-c}}{\frac{ab}{b-c}-\frac{ab}{b+c}}=\frac{b+c}{2c}=\frac{b+c}{a},$$

что и требовалось.

Пусть $D$ основание биссектрисы из $A$, $E$ основание бисектрисы из $B$ и пусть $YI \cap AC=M$, тогда очевидно что $(B,C;D,Y)=-1$ с проектируемым $(B,C;D,Y) \stackrel I= (E,C;A,M)$

Возьмем $M’$ как центр $AC$. Докажем что $M=M’$ <=> $(E,C;A,M’)=-1$

Возьмем $AE=a ,EM’=b , M’C=a+b$.

(!) $\frac{AE}{AC}=\frac{EM’}{M’C}$ <=> $\frac{a}{2(a+b)}=\frac{b}{a+b}$

Что верно так как по теореме биссектрис

$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{a}{a+2b}= \frac{1}{2}$ =>> $a=2b$ Ч.Т.Д