қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, не представимых в виде $x^2+y^2+z^2+xyz$, где $x,y,z$ — целые числа.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Жибек загадывает два различных действительных числа $a$ и $b$, а Ержан пытается их найти. За один ход Ержан придумывает многочлен $P(x)$ степени $2024$ с действительными коэффициентами, после чего Жибек сообщает ему значение $P(a) - P(b)$. Докажите, что за три хода Ержан сможет гарантированно найти числа $a$ и $b$.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №3. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL,BM,CN$ и высоты $AD,BE,CF$. Докажите, что если площадь треугольника $DEF$ больше площади треугольника $LMN$, то треугольник $ABC$ тупоугольный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Даны положительные действительные числа $a,b,c$ такие, что $abc=1$. Докажите, что \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\]
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение
комментарий/решение