Областная олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, не представимых в виде x2+y2+z2+xyz, где x,y,z — целые числа.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Жибек загадывает два различных действительных числа a и b, а Ержан пытается их найти. За один ход Ержан придумывает многочлен P(x) степени 2024 с действительными коэффициентами, после чего Жибек сообщает ему значение P(a)−P(b). Докажите, что за три хода Ержан сможет гарантированно найти числа a и b.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL,BM,CN и высоты AD,BE,CF. Докажите, что если площадь треугольника DEF больше площади треугольника LMN, то треугольник ABC тупоугольный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла ∠BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Даны положительные действительные числа a,b,c такие, что abc=1. Докажите, что (a3b+b3c+c3a)+2(ab+bc+ca)+(a+b+c)≥4(ab+bc+ca).
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение
комментарий/решение