Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, не представимых в виде x2+y2+z2+xyz, где x,y,z — целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Жибек загадывает два различных действительных числа a и b, а Ержан пытается их найти. За один ход Ержан придумывает многочлен P(x) степени 2024 с действительными коэффициентами, после чего Жибек сообщает ему значение P(a)P(b). Докажите, что за три хода Ержан сможет гарантированно найти числа a и b. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(6)
Задача №3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL,BM,CN и высоты AD,BE,CF. Докажите, что если площадь треугольника DEF больше площади треугольника LMN, то треугольник ABC тупоугольный.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Даны положительные действительные числа a,b,c такие, что abc=1. Докажите, что (a3b+b3c+c3a)+2(ab+bc+ca)+(a+b+c)4(ab+bc+ca). ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение