қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $x^2+y^2+z^2+xyz$ түрінде жазуға болмайтын шексіз көп бүтін сандар табылатынын дәлелдеңіз, мұнда $x,y,z$ бүтін сандар.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Жібек әртүрлі $a$ және $b$ нақты сандарын жасырады, ал Ержан осы сандарды тапқысы келеді. Бір жүрісте Ержан коэффициенттері нақты сандар болатын дәрежесі $2024$-ке тең $P(x)$ көпмүшесін ойлап табады, содан кейін Жібек оған $P(a) - P(b)$ мәнін айтады. Үш жүрісте Ержан $a$ және $b$ сандарын кепілді түрде таба алатынын дәлелдеңіз.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $AL,BM,CN$ биссектрисалары мен $AD,BE,CF$ биіктіктері жүргізілген. Егер $DEF$ үшбұрышының ауданы $LMN$ үшбұрышының ауданынан көп болса, онда $ABC$ үшбұрышы доғалбұрышты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $BC = 2AB$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген, ал $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі. $\angle BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасы $BC$ түзуін $Y$ нүктесінде қияды. $YI$ түзуі $AC$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $abc=1$ болатындай оң нақты $a,b,c$ сандары берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\]
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. 126 адамнан тұратын қоғамдық ұйымда 189 комитет құрылды (әрбір комитет кемінде екі адамнан тұрады, бір адам бірнеше комитетте бола алады). Осымен қатар, кез келген екі комитеттің құрамы бірдей емес. Сайланғаннан кейін, өзі мүшелікте болған барлық комитеттерден шығып кететін, ұйым төрағасын сайлау керек. Сайлаудан кейін кем дегенде 188 комитеттің құрамы қос-қостан әртүрлі болатындай төрағаны таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение