Processing math: 46%

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс


Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC. ( Зауытхан А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 1 месяца назад #

Назовем пересечение YI и AC как M.

Тогда пусть AYM=x;MYC=y;IAC=IAB=a;ICA=ICB=c

По угловой форме теоремы Чевы для треугольника AYC получим(чевианы пересекаются в I), что \dfrac{Sin90°}{Sina} × \dfrac{Siny}{Sinx} × \dfrac{Sinc}{Sinc}=1 \Rightarrow \dfrac{Siny}{Sinx}=Sina

По теорема синусов для \triangle{ABC} получим \dfrac{AB}{Sin2c}=\dfrac{BC}{Sin2a}

Из условия задачи следует, что 1=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}

По теореме синусов для треугольников AYM;MYC получим, что

\dfrac{AM}{Sinx}=\dfrac{YM}{Sin(90°+a)} и \dfrac{MC}{Siny}=\dfrac{YM}{Sin2c}

Тогда \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{SinxSin2c}{Sin(90°+a)Siny}=\dfrac{SinxSin2c}{CosaSiny} Зная чему равен \dfrac{Siny}{Sinx} легко сделать вывод, что \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{Sin2c}{SinaCosa}=\dfrac{Sin2c}{\dfrac{Sin2a}{2}}=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}=1 и получаем требуемое

  0
1 года назад #

Пусть D,E - основания биссектрис углов A и B исходного треугольника, YI\cap AC=X. Тогда:

-1=(Y,D;B,C)\stackrel {I}{=} (X, A;E, C), \frac{AE}{AC}=\frac{XE}{XC}=\frac{1}{3}

EC=XE+XC=4XE=2AE\Rightarrow AX=XC.