Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$ ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Назовем пересечение $YI$ и $AC$ как $M$.

Тогда пусть $\angle{AYM}=x;\angle{MYC}=y;\angle{IAC}=\angle{IAB}=a;\angle{ICA}=\angle{ICB}=c$

По угловой форме теоремы Чевы для треугольника $AYC$ получим(чевианы пересекаются в $I$), что $\dfrac{Sin90°}{Sina} × \dfrac{Siny}{Sinx} × \dfrac{Sinc}{Sinc}=1 \Rightarrow \dfrac{Siny}{Sinx}=Sina$

По теорема синусов для $\triangle{ABC}$ получим $\dfrac{AB}{Sin2c}=\dfrac{BC}{Sin2a}$

Из условия задачи следует, что $1=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}$

По теореме синусов для треугольников $AYM;MYC$ получим, что

$\dfrac{AM}{Sinx}=\dfrac{YM}{Sin(90°+a)}$ и $\dfrac{MC}{Siny}=\dfrac{YM}{Sin2c}$

Тогда $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{SinxSin2c}{Sin(90°+a)Siny}=\dfrac{SinxSin2c}{CosaSiny}$ Зная чему равен $\dfrac{Siny}{Sinx}$ легко сделать вывод, что $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{Sin2c}{SinaCosa}=\dfrac{Sin2c}{\dfrac{Sin2a}{2}}=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}=1$ и получаем требуемое

Пусть $D,E$ - основания биссектрис углов $A$ и $B$ исходного треугольника, $YI\cap AC=X$. Тогда:

$$-1=(Y,D;B,C)\stackrel {I}{=} (X, A;E, C), \frac{AE}{AC}=\frac{XE}{XC}=\frac{1}{3}$$

$$EC=XE+XC=4XE=2AE\Rightarrow AX=XC.$$

Введем барицентрическую систему координат относительно $\triangle ABC$.

$A = (1, 0, 0)$

$B = (0, 1, 0)$

$C = (0, 0, 1)$

$BC = a, CA = b, AB = c$

Тогда координаты $I = (a:b:c)$

Пусть $M$ середина $AC$. Тогда $M = (\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{2})$

Теперь найдем координаты $Y$.

Так как она лежит на $BC$, она удовлетворяет $x = 0$.

Так как она лежит на внешней биссектрисе $\angle BAC$, она лежит на $AX$, где $X$ - центр вневписанной окружности касающейся $AC$. Значит, $Y$ имеет вид $(t:-b:c)$.

Комбинируя выше сказанные факты получим, что $Y = (0:-b:c)$.

Теперь осталось доказать коллинеарность точек.

$\left|\matrix{0 & -b & c \\ a & b & c \\ 1/2 & 0 & 1/2}\right| = -bc +ab/2 = -bc +bc = 0$

Задача решена. Только есть вопрос: могу ли я использовать барики на реальной олимпиаде без вступительной теорией для жюри? Верно ли мое решение?

(Я новичок в барицентрических координатах)

По идее,да,твое решение верно,но некоторые жюри могут и не знать барицентрическую систему координат,если 0 поставят то просто на апелляцию пойдешь.Но все равно надо отучиваться от бариков и решать без счета так как на межнарах уже научились составлять задачи для которых барики,комплы вообще не подойдут