Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Назовем пересечение YI и AC как M.
Тогда пусть ∠AYM=x;∠MYC=y;∠IAC=∠IAB=a;∠ICA=∠ICB=c
По угловой форме теоремы Чевы для треугольника AYC получим(чевианы пересекаются в I), что \dfrac{Sin90°}{Sina} × \dfrac{Siny}{Sinx} × \dfrac{Sinc}{Sinc}=1 \Rightarrow \dfrac{Siny}{Sinx}=Sina
По теорема синусов для \triangle{ABC} получим \dfrac{AB}{Sin2c}=\dfrac{BC}{Sin2a}
Из условия задачи следует, что 1=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}
По теореме синусов для треугольников AYM;MYC получим, что
\dfrac{AM}{Sinx}=\dfrac{YM}{Sin(90°+a)} и \dfrac{MC}{Siny}=\dfrac{YM}{Sin2c}
Тогда \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{SinxSin2c}{Sin(90°+a)Siny}=\dfrac{SinxSin2c}{CosaSiny} Зная чему равен \dfrac{Siny}{Sinx} легко сделать вывод, что \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{Sin2c}{SinaCosa}=\dfrac{Sin2c}{\dfrac{Sin2a}{2}}=\dfrac{2Sin2c}{Sin2a}=1 и получаем требуемое
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.