Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все функции f:N→N такие, что fm(n)=fm−n(m) при всех натуральных m≥n≥2024. (N — множество натуральных чисел, f0(k)=k и fl(k)=f(fl−1(k)) при всех целых l≥1.)
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Натуральные числа x,y,t таковы, что x2+257=yt и 2≤t≤48. Докажите, что число t — простое.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL,BM,CN и высоты AD,BE,CF. Докажите, что если площадь треугольника DEF больше площади треугольника LMN, то треугольник ABC тупоугольный.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла ∠BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Неотрицательные действительные числа a,b,c,d таковы, что (a−b)(b−c)(c−d)(d−a)≥a2+b2+c2+d2=12. Докажите, что abcd<1,61.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение
комментарий/решение