Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Найдите все функции f:NN такие, что fm(n)=fmn(m) при всех натуральных mn2024. (N — множество натуральных чисел, f0(k)=k и fl(k)=f(fl1(k)) при всех целых l1.) ( Зауытхан А. )
комментарий/решение
Задача №2.  Натуральные числа x,y,t таковы, что x2+257=yt и 2t48. Докажите, что число t — простое. ( А. Васильев )
комментарий/решение(9)
Задача №3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL,BM,CN и высоты AD,BE,CF. Докажите, что если площадь треугольника DEF больше площади треугольника LMN, то треугольник ABC тупоугольный.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Дан треугольник ABC, в котором BC=2AB, а точка I — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла BAC пересекает прямую BC в точке Y. Докажите, что прямая YI проходит через середину отрезка AC. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Неотрицательные действительные числа a,b,c,d таковы, что (ab)(bc)(cd)(da)a2+b2+c2+d2=12. Докажите, что abcd<1,61. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение