қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все функции $f:N\rightarrow N$ такие, что $f_{m}(n) = f_{m-n}(m)$ при всех натуральных $m\ge n \ge 2024.$ ($N$ — множество натуральных чисел, $f_{0}(k) = k$ и $f_{l}(k) = f(f_{l-1}(k))$ при всех целых $l\ge 1$.)
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Натуральные числа $x,y,t$ таковы, что $x^2+257=y^t$ и $2\le t\le 48$. Докажите, что число $t$ — простое.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №3. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL,BM,CN$ и высоты $AD,BE,CF$. Докажите, что если площадь треугольника $DEF$ больше площади треугольника $LMN$, то треугольник $ABC$ тупоугольный.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Дан треугольник $ABC$, в котором $BC = 2AB$, а точка $I$ — центр вписанной окружности. Внешняя биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает прямую $BC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YI$ проходит через середину отрезка $AC.$
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Неотрицательные действительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$. Докажите, что $abcd<1,\!61$.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. В общественной организации, насчитывающей 126 человек, сформировано 189 комитетов (в каждом комитете состоит не менее двух человек, человек может состоять в нескольких комитетах). При этом никакие два комитета не совпадают по составу. Нужно выбрать председателя организации, который после избрания должен покинуть все комитеты, в которых он состоял. Докажите, что можно выбрать председателя так, чтобы после выборов не менее 188 комитетов будут попарно различны по составу.
комментарий/решение
комментарий/решение