Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Найдите все функции $f:N\rightarrow N$ такие, что $f_{m}(n) = f_{m-n}(m)$ при всех натуральных $m\ge n \ge 2024.$ ($N$ — множество натуральных чисел, $f_{0}(k) = k$ и $f_{l}(k) = f(f_{l-1}(k))$ при всех целых $l\ge 1$.) ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Подставим m = n ≥ 2024, тогда fn(n) = f0(n) = n (1). Теперь

подставив m= n+ 1 ≥2025 получим fn+1(n) = f(n+ 1) (2). Из (1) и (2) получим,

что f(n) = f(fn(n)) = fn+1(n) = f(n+ 1) при всех n ≥2024, то есть f(a) = f(b)

при всех a,b≥2024.

Обозначим M = max(f(1),...,f(2023),f(2024))+1. Тогда f(k) <M для любого

натурального k. Но при n= M из (1) получим, что f(fM−1(M)) = fM (M) = M,

что невозможно. Значит таких функции не существует.