Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Неотрицательные действительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$. Докажите, что $abcd<1,\!61$. ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

.

AM-GM теңсіздігі бойынша:

$24=2(a^2+b^2+c^2+d^2)=$

$=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+$

$+2(ab+bc+cd+da)\ge $

$\ge 4\sqrt[4]{(a-b)^2(b-c)^2(c-d)^2(d-a)^2}+2\cdot 4\sqrt[4]{(abcd)^2}\ge $

$\ge 4\sqrt[4]{12^2}+8\sqrt{abcd}$

$\Rightarrow 24\ge 8\sqrt{3}+8\sqrt{abcd}$

$\Rightarrow abcd\le (3-\sqrt{3})^2<1,61$