Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Неотрицательные действительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ge a^2+b^2+c^2+d^2 = 12$. Докажите, что $abcd<1,\!61$. ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

.

AM-GM теңсіздігі бойынша:

$24=2(a^2+b^2+c^2+d^2)=$

$=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+$

$+2(ab+bc+cd+da)\ge $

$\ge 4\sqrt[4]{(a-b)^2(b-c)^2(c-d)^2(d-a)^2}+2\cdot 4\sqrt[4]{(abcd)^2}\ge $

$\ge 4\sqrt[4]{12^2}+8\sqrt{abcd}$

$\Rightarrow 24\ge 8\sqrt{3}+8\sqrt{abcd}$

$\Rightarrow abcd\le (3-\sqrt{3})^2<1,61$

Чтобы доказать неравенство мы должны найти максимальное abcd

Согласно принципу симметрии(либо же просто интуитивно) для получения максимального значения произведения разница значений множителей должна быть минимальна

(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)>=12

в данном случае a не может равняться b также как и d; b также не равняется с и c не равняется d так как в скобке не может получатся 0

В таком случае единственные возможные равенства это a=c b=d

Тогда (a-b)(b-a)(a-b)(b-a))>=12

То есть (a-b)^4)>=12

И a^2+b^2+c^2+d^2=a^2+b^2+a^2+b^2=2(a^2+b^2)

То есть 2(a^2+b^2)=12

a^2+b^2=6

abcd=a^2b^2

(a-b)^4)=((a-b)^2)^2=(a^2-2ab+b^2)^2>=12

Так как a^2+b^2=6 => 6-2ab>=3,464(корень из 12)

Переносим неизвестные в одну сторону

2ab<=2,536

ab<=1,268

a^2^b^2<1,61-доказано