Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс


Натуральные числа x,y,t таковы, что x2+257=yt и 2t48. Докажите, что число t — простое. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 1 месяца назад #

Если t составное, наименьший простой делитель один из 2,3,5.Потом разбор случаев и доказывается что t-простое.

пред. Правка 2   0
1 года 1 месяца назад #

Кстати, в этой задаче можно было доказать, что если tP, то 2;3;5;7t без идеи, которую использовал автор задачи(да, там не было 7, но он тут улетает сразу вместо с тройкой при использовании жирара). Это просто написать все не простые числа от 2 до 48, и посмотреть на их делители. Дальше получаем требуемое. Дальше у меня не получилось решить не сделав одно и тоже с автором

  0
1 года назад #

так ты же просто переформулировал идею автора, не?)

пред. Правка 2   0
1 года назад #

Ну тут необязательно понимать, что если tPk:kt;kt

Ну а так да, по идее вещи похожие(т.е. одно следствие другого можно сказать наверное). Просто казалось, что до перебора легче догадаться

  0
1 года назад #

Конечно,как будто кто то без перебора решал

  0
1 года 1 месяца назад #

Через теорему подбора разобрать все числа от 2 до 48 можно

  0
1 года назад #

ты сделал мой день

  4
1 года назад #

Допустим t- составное =>

2,3,5|t

1) t=2k

257=y2kx2

257=(ykx)(yk+x)

x=yk1=>y2k2yk+258=y2k=>2yk=258=>129=yk что не возможно.

2) t=3k

По мод 4 понимаем что x-четный отсюда y3k по моду 4 дает 1 и значит yk дает тоже 1 => x2+256=(yk1)(y2k+yk+1)

Так как (y2k+yk+1) вида 4к+3 отсюда по лемме у него есть делитель вида 4к+3 назовем его p значит по теореме жирара 16 делится на p что не возможно.

3) t=5k

По моду 11 это не возможно.

  1
2 месяца 12 дней назад #

пусть t не простое тогда t делиться на простые p,q где больше q

x^2+257=y^2m тогда 257=(y^m-x)(y^m+x) заметим что тогда y^m+x=257 и y^m-x=1 => 2y^m=258 => y^m=129 => m=1 тогда t=2

теперь мы знаем что t=2m+1.

x^2+257\equiv 2 \pmod {4} при х нечетным тоесть y^t \equiv 2 \pmod {4} ф это не возможно при t хотя бы 2

значит x=2a => x^2+257\equiv 1 \pmod {4} значит y^t \equiv 1 \pmod {4} по скольку t=2m+1 => y\equiv 1 \pmod {4}

теперь докажем что q хотя бы 7

Док-во:

1) q=3 x^2+16^2=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1) заметим что (y^2+y+1)\equiv 3 \pmod {4} дальше по теореме жирара получим противоречие

2) q=5 x^2+15^2=y^5-2^5=(y-2\)(y^4+2y^3+4y^2+8y+1) заметим что(y^4+2y^3+4y^2+8y+16) \equiv 3 \pmod {4} то есть какой-то p\equiv 3 \pmod {4} делит 15 и х но тогда очевидно что p=3.