Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Задача №1.  Найдите все четверки натуральных чисел $(a,b,c,d)$ таких, что $2^a+3^b=5^c\cdot d$ и $2^b+3^a=5^d\cdot c$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

---

Задача №2.  Найдите все строго возрастающие функции $f:\mathbb N\to \mathbb N$ такие, что $f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ при всех $m,n\in \mathbb N$. (Здесь $\mathbb N$ — множество натуральных чисел.) ( Абу А. )
комментарий/решение

---

Задача №3.  Дан треугольник $ABC$ ($AB\neq AC$), в котором $I$ — центр вписанной окружности, $I_A$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$, $\Omega$ — описанная окружность и $AD$ — высота. Пусть $M$ — середина дуги $BAC$, а $AL$ — диаметр $\Omega$. Прямые $IL$ и $I_AD$ пересекаются в точке $P,$ а прямые $ID$ и $I_AL$ — в точке $Q.$ Точка $S$ такова, что $SA = SM$ и $SP = SL.$ Докажите, что прямые $AP, MQ$ и $I_AS$ пересекаются в одной точке. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Положительные действительные числа $x, y$, и натуральное число $n$ таковы, что $$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor.$$ Докажите, что $\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$. ($\lfloor t\rfloor$ — целая часть $t$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

---

Задача №5.  В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — середина дуги $AB$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, не содержащей точку $C$. К окружности с центром $J$ и радиусом $JM$ провели касательные $IP$ и $IQ$ ($A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $CI$). Описанные окружности треугольников $APJ$ и $BQJ$ вторично пересекаются в точке $R$. Прямые $IP$ и $IQ$ пересекают прямую $AB$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $MX_1$ и $MY_1$ — биссектрисы треугольников $XMJ$ и $YMJ$ соответственно. Докажите, что точки $X_1, Y_1$ и $R$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение

---

Задача №6.  Даны натуральные числа $n$ и $k$, где $k+1 < 2n$. Пусть $A$ — множество всех последовательностей $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ таких, что $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$, $a_i\in\{1,-1\}$ и $a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ для всех $i=1,2,\ldots,2n$. Пусть $B$ — подмножество всех элементов $A$, для которых $a_k=1$, а $C$ — подмножество всех элементов $A$, для которых $a_{k+1}=1$. Докажите, что $|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$. ($|X|$ — количество элементов множества $X$.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

---