қазақша
русскийАбу А.
Задача №1. $\mathbb R^+$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ такие, что при всех $x,y\in \mathbb R^+$ выполняется равенство \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right). \] ( Абу А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. $\mathbb R^+$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ такие, что при всех $x,y\in \mathbb R^+$ выполняется равенство \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right). \] ( Абу А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №3. Найдите все строго возрастающие функции $f:\mathbb N\to \mathbb N$ такие, что $f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ при всех $m,n\in \mathbb N$. (Здесь $\mathbb N$ — множество натуральных чисел.) ( Абу А. )
комментарий/решение(8) олимпиада
Задача №4. Найдите все строго возрастающие функции $f:\mathbb N\to \mathbb N$ такие, что $f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ при всех $m,n\in \mathbb N$. (Здесь $\mathbb N$ — множество натуральных чисел.) ( Абу А. )
комментарий/решение(1) олимпиада