Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Задача №1. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AD. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Окружность Ω проходит через точки A и B, и касается прямой AC. Пусть BE — диаметр Ω. Прямые BH и AH во второй раз пересекают Ω в точках K и L соответственно. Прямые EK и AB пересекаются в точке T. Докажите, что ∠BDK=∠BLT.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дано простое число p≥3 и натуральное число d. Докажите, что существует натуральное число n, взаимно простое с d, такое, что произведение P=∏1≤i<j<p(in+j−jn+i) не делится на pn.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. R+ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции f:R+→R+ такие, что при всех x,y∈R+ выполняется равенство f(x+f(xy)x)=f(xy)f(y+1y).
комментарий/решение(2)
(
Абу А.
)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Игроки A и B играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок A прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок B пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход B может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем A говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли B гарантированно найти орешек за конечное количество ходов?
(
Зауытхан А.,
Сам Ф.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Целое число m≥3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (an)n≥1 при всех натуральных n удовлетворяет равенству an+2=2m√am−1n+1+am−1n−an+1.
комментарий/решение
Докажите, что a1<2m.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение
Задача №6. Окружность ω с центром в точке I, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и AEF вторично пересекаются в точке K. Прямые EF и AK пересекаются в точке X и пересекают прямую BC в точках Y и Z соответственно. Касательные прямые к ω, отличные от BC, проходящие через точки Y и Z, касаются ω в точках P и Q соответственно. Пусть прямые AP и KQ пересекаются в точке R. Докажите, что если M — середина отрезка YZ, то IR⊥XM.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)