Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биіктігі жүргізілген.

$H$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$A$ және

$B$ нүктелері арқылы өтетін

$\Omega$ шеңбері

$AC$ түзуін жанайды.

$BE$ кесіндісі

$\Omega$ -ның диаметрі болсын.

$BH$ және

$AH$ түзулері

$\Omega$ -ны екінші рет, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$EK$ және

$AB$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Жай

$p\ge 3$ және натурал

$d$ саны берілген.

$d$ санымен өзара жай, әрі

$P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ көбейтіндісі

$p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал

$n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\mathbb R^+$ — оң нақты сандар жиыны. Кез келген

$x,y\in \mathbb R^+$ сандары үшін

$f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ функцияларын табыңыз. ( Абу А. )
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$A$ мен

$B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында

$A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін

$B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте

$B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін

$A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы

$B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Бүтін

$m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын

$(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}$ теңдігін қанағаттандырады.

$a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение

Есеп №6. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына центрі

$I$ болатын

$\omega$ шеңбері іштей сызылған.

$\omega$ шеңбері

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелерінде жанайды.

$ABC$ және

$AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$EF$ және

$AK$ түзулері

$X$ нүктесінде қиылысып, ал

$BC$ түзуін, сәйкесінше,

$Y$ және

$Z$ нүктелерінде қияды.

$\omega$ -ға

$Y$ және

$Z$ арқылы өтетін, әрі

$BC$ түзуінен өзге жанама түзулер

$\omega$ -ны, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде жанайды.

$AP$ және

$KQ$ түзулері

$R$ нүктесінде қиылыссын.

$M$ нүктесі —

$YZ$ кесіндісінің ортасы.

$IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(4)

результаты