Сам Ф.

Задача №1. Дана клетчатая доска

$2n\times 2n$ . Самат закрашивает некоторые клетки в синий или в красный цвет. Он должен раскрасить ровно

$k$ клеток. Фархат раскрашивает все остальные клетки доски в синий или красный цвет так, чтобы итоговая доска удовлетворяла следующим условиям:

   в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
   в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
   любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк

$r_1$ и

$r_2$ есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
Найдите наименьшее возможное значение

$k$ (в зависимости от

$n$ ), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Окружности

$\Omega$ и

$\Gamma$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Линия центров этих окружностей пересекает

$\Omega$ и

$\Gamma$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой

$AB$ , причём точка

$Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от

$AB$ взята окружность

$\delta$ , касающаяся отрезка

$AB$ в точке

$D$ и

$\Gamma$ в точке

$T$ . Прямая

$PD$ вторично пересекает

$\delta$ и

$\Omega$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Докажите, что

$\angle QTK=\angle DTL$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. Игроки

$A$ и

$B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок

$A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок

$B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход

$B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем

$A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли

$B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Игроки

$A$ и

$B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок

$A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок

$B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход

$B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем

$A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли

$B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада