Сам Ф.

Задача №1. Дана клетчатая доска $2n\times 2n$. Самат закрашивает некоторые клетки в синий или в красный цвет. Он должен раскрасить ровно $k$ клеток. Фархат раскрашивает все остальные клетки доски в синий или красный цвет так, чтобы итоговая доска удовлетворяла следующим условиям:

   в каждой строке и в каждом столбце одинаковое количество синих и красных клеток;
   в каждой строке и в каждом столбце нет трех последовательных клеток одного цвета;
   любые две строки различны и любые два столбца различны. (Если у строк $r_1$ и $r_2$ есть клетки разного цвета, находящиеся в одном столбце, то эти строки считаются различными. Аналогично и для столбцов.)
   Найдите наименьшее возможное значение $k$ (в зависимости от $n$), при котором Фархат может покрасить доску не более чем одним способом независимо от раскраски Самата. (Если клетка уже покрашена в синий или в красный цвет, то его больше нельзя перекрашивать.) ( Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок $A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок $B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход $B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем $A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли $B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок $A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок $B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход $B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем $A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли $B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада