қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс
Задача №1. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ проходит через точки $A$ и $B$, и касается прямой $AC$. Пусть $BE$ — диаметр $\Omega$. Прямые $BH$ и $AH$ во второй раз пересекают $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $EK$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $\angle BDK=\angle BLT$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дано простое число $p\ge 3$ и натуральное число $d$. Докажите, что существует натуральное число $n$, взаимно простое с $d$, такое, что произведение $P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на $p^n.$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. $\mathbb R^+$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ такие, что при всех $x,y\in \mathbb R^+$ выполняется равенство \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right). \]
(
Абу А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок $A$ прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок $B$ пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход $B$ может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем $A$ говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли $B$ гарантированно найти орешек за конечное количество ходов?
(
Зауытхан А.,
Сам Ф.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Целое число $m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел $(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных $n$ удовлетворяет равенству \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. \] Докажите, что $a_1 < 2^m$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Окружность $\omega$ с центром в точке $I$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $AEF$ вторично пересекаются в точке $K.$ Прямые $EF$ и $AK$ пересекаются в точке $X$ и пересекают прямую $BC$ в точках $Y$ и $Z$ соответственно. Касательные прямые к $\omega$, отличные от $BC$, проходящие через точки $Y$ и $Z$, касаются $\omega$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть прямые $AP$ и $KQ$ пересекаются в точке $R$. Докажите, что если $M$ — середина отрезка $YZ,$ то $IR\perp XM$.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)