Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс


Задача №1.  В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AD. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Окружность Ω проходит через точки A и B, и касается прямой AC. Пусть BE — диаметр Ω. Прямые BH и AH во второй раз пересекают Ω в точках K и L соответственно. Прямые EK и AB пересекаются в точке T. Докажите, что BDK=BLT. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Дано простое число p3 и натуральное число d. Докажите, что существует натуральное число n, взаимно простое с d, такое, что произведение P=1i<j<p(in+jjn+i) не делится на pn. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  R+ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции f:R+R+ такие, что при всех x,yR+ выполняется равенство f(x+f(xy)x)=f(xy)f(y+1y). ( Абу А. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Игроки A и B играют в следующую игру на координатной плоскости. Игрок A прячет орешек в одной из точек с целочисленными координатами, а игрок B пытается найти этот спрятанный орешек. За один ход B может выбрать три различные точки с целочисленными координатами, затем A говорит, лежат ли эти три точки вместе с точкой орешка на одной окружности или нет. Сможет ли B гарантированно найти орешек за конечное количество ходов? ( Зауытхан А., Сам Ф. )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Целое число m3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (an)n1 при всех натуральных n удовлетворяет равенству an+2=2mam1n+1+am1nan+1. Докажите, что a1<2m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Окружность ω с центром в точке I, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и AEF вторично пересекаются в точке K. Прямые EF и AK пересекаются в точке X и пересекают прямую BC в точках Y и Z соответственно. Касательные прямые к ω, отличные от BC, проходящие через точки Y и Z, касаются ω в точках P и Q соответственно. Пусть прямые AP и KQ пересекаются в точке R. Докажите, что если M — середина отрезка YZ, то IRXM. ( Зауытхан А. )
комментарий/решение(2)
результаты