Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Решение без элементов проек-й геометрии.
Пусть w1 окружность с центром G и диаметром AI с R=GF=GE так что AI⊥FE и w2 с центром A радиусом R=AI так же ω окружность с центром I и R=FI=EI. Возьмем на w1 произвольную точку K, пусть l касательная к w1 в точке I если Z∈l∩AK проведем касательные ZD,ZQ к ω где Q ближе к A.
Если C∈ZD∩AE, C′∈ZQ∩AE, B∈ZD∩AF, B′∈ZQ∩AF, H∈l∩AF
1) Покажем что BCB′C′ - описанный.
Достаточно посчитать углы приняв ∠ACB=c, ∠ABC=b
∠BAC=180−b−c, ∠FAI=90∘−(b+c)/2, ∠BHZ=(b+c)/2, ∠HZB=(b−c)/2,∠B′ZB=b−c, ∠ZB′B=c то есть BCB′C′ - описанный , так же AIB′=b/2 но ABI=b/2 значит AB′I,ABI подобны, ровна как и AIC′,AIC откуда AI2=AB′⋅AB=AC′⋅AC.
Но из построения AI2=AK⋅AZ значит при инверсии относительно w2 касательная ZQ перейдет в окружность описанную около ABCK.
2) Пусть L∈ZQ∩EF, X∈EF∩AK, Y∈BC∩EF тогда ∠CYE=∠HZB=(c−b)/2 но ∠QLE=∠QZI=∠HZB то есть ZL=ZY .
3) Из 1 получается ∠KCB=∠KAF=∠KEF то есть KECY - вписанный, откуда YKZ=YKE−ZKE=180−c−FKE−FKZ=180−c−(180−b−c)−(b+c)/2=(b−c)/2 то есть YKLZ вписанный, пусть YP касательная к ω тогда A,P,D лежат на одной прямой, так как IY⊥AD так же по известному свойству при инверсии относительно окружности с радиусом AF прямая EF переходит в w1 тогда ∠KYC=∠AEK=∠AFK=∠AXE то есть YZX,YZK подобны и KQIDZ лежат на одной окружности с диа-м ZI откуда ∠KDI=∠KIA так же из вписанности ∠QKI=∠IKD.
4) Для того чтобы доказать что MX⊥RI из задачи, нужно показать что ∠AIR=∠YXM отметим что из выше описанных свойств, следует что если T∈KR∩AI то YXZ,KTI подобны тогда нужно показать что IR симедиана KIT
5) Пусть S∈KD∩AI .
Для этого покажем по свойству симедианы KRTR=KI2TI2 . Тогда из подобия KDI,KIT выходит KI2=KD⋅KT и пользуясь тем что KI биссектриса KTS получается TI=SI⋅KTKS подставляя KRTR=KD⋅KS2SI2⋅KT но SI касательная к KQIDZ откуда SI2=SD⋅KS откуда KRTR=KD⋅KSSD⋅KT что верно так как это есть т. Менелая для секущей AD и KST учитывая ASAT=KSKT так как AK биссектриса внешнего ∠AKD
Очевидно что A−P−D так как их поляры проходят через Y.
IK∩FE=L, При инверсии с центром I и r2=ID2 L=>K отсюда тк ∠IKA=90 прямая AK поляр точки L, и заметим что поляры точек L,Q,D проходят через Z отсюда они колинеарны. По свойству поляра:
(Q,D;L,QD∩AK)K=(R,D;AD∩KL,A)=(IR,ID;IK,IA)=−1 и так как ID⊥BC, IK⊥XZ, IA⊥XY отсюда следует перпендикулярность.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.