қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс
Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$ биіктігі жүргізілген. $H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін $\Omega$ шеңбері $AC$ түзуін жанайды. $BE$ кесіндісі $\Omega$-ның диаметрі болсын. $BH$ және $AH$ түзулері $\Omega$-ны екінші рет, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $EK$ және $AB$ түзулері $T$ нүктесінде қиылыссын. $\angle BDK=\angle BLT$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Жай $p\ge 3$ және натурал $d$ саны берілген. $d$ санымен өзара жай, әрі \[P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}\] көбейтіндісі $p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\mathbb R^+$ — оң нақты сандар жиыны. Кез келген $x,y\in \mathbb R^+$ сандары үшін \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right)\] теңдігін қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ функцияларын табыңыз.
(
Абу А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $A$ мен $B$ ойыншылары координаталық жазықтықта келесі ойын ойнайды. Басында $A$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын нүктеге жаңғақты жасырады, одан кейін $B$ ойыншысы сол жаңғақты табуға тырысады. Бір жүрісте $B$ ойыншысы координаталары бүтін сандар болатын әртүрлі үш нүкте таңдайды, одан кейін $A$ ойыншысы сол үш нүктемен қоса жаңғақ орналасқан нүкте бір шеңбердің бойында жатқанын немесе жатпағанын айтады. Саны шекті жүрістер арқылы $B$ ойыншысы жаңғақты кепілді түрде таба алады ма?
(
Зауытхан А.,
Сам Ф.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Бүтін $m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын $(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал $n$ саны үшін \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1} \] теңдігін қанағаттандырады. $a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына центрі $I$ болатын $\omega$ шеңбері іштей сызылған. $\omega$ шеңбері $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $ABC$ және $AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $EF$ және $AK$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысып, ал $BC$ түзуін, сәйкесінше, $Y$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $\omega$-ға $Y$ және $Z$ арқылы өтетін, әрі $BC$ түзуінен өзге жанама түзулер $\omega$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде жанайды. $AP$ және $KQ$ түзулері $R$ нүктесінде қиылыссын. $M$ нүктесі — $YZ$ кесіндісінің ортасы. $IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)